比例谐振（PR）控制器的学习过程记录

2023-11-07

0、前言

1、PR控制器和PI控制器对比

1.1 传递函数表达式对比

0、前言

在一个闭环控制系统中，可分为输入参考值、闭环控制器、执行机构、输出参数，反馈系数，这几个部分。

设计一款控制器，可以让系统的输出参数跟踪输入参考值，达到了控制的目的。在直流控制系统中，常用的控制器就是比例微分积分(Proportion Integration Differentiation,PID)控制器了。然而，在交流系统中，PID控制器由于对高频信号的跟踪性能较差，并不能满足设计要求。而PR控制器，对特定频率信号的跟踪效果是良好的。

本文首先对PR控制器和PI控制器进行对比。然后讨论了比例谐振（Proportion, Resonant, PR）控制器的数字化实现。笔者目前在一款DCDC电路中使用过PI控制器，同时PI控制器的资料比较好找。然而PR控制器只在软件仿真中使用过，并没有在实际项目中使用。

希望我和读者们，都能从本文中获益，谢谢。

1、PR控制器和PI控制器对比

1.1 传递函数表达式对比

比例积分控制器的传递函数如下：

$G_{PI}\left ( s \right )=K_p + \frac{K_i}{s}$

比例谐振控制器的传递函数如下：

$G_{PR-ideal}\left ( s \right )=K_p + \frac{K_rs}{s^{2}+\omega _o^{2}}$

本文称这个PR控制器为理想的PR控制器。

以上的 $G_{PR-ideal}$ 这个控制器，在下文的波特图上可见，只对单一的频率起作用。但实际上，例如逆变器，参考波形可能在频率上有正负1Hz的变化，或者由于测量采样的不确定性，因此在运用中，会用以下的变形，替代上面的Gpr-ideal。

$G_{PR}\left ( s \right )=K_p + \frac{2K_r\omega _cs}{s^{2}+2\omega _cs+\omega _o^{2}}$

本文称这个PR控制器为实际的PR控制器。

1.2 波特图对比

下图是当Kp分别取为1、10、100，Ki=10时PI控制器的波特图（蓝色是Kp=1，绿色是Kp=10，红色是Kp=100）。

附上实现代码：

% this is Matlab code:
Ki=10;
Kp=1;
PIs1=tf([Kp,Ki],[1,0])
Kp=10;
PIs2=tf([Kp,Ki],[1,0])
Kp=100;
PIs3=tf([Kp,Ki],[1,0])
bode(PIs1,PIs2,PIs3)
title('Bode Diagram of PI: Kp=1,10,100. Ki=10')
grid on

下图是当Kp=1，Ki分别取为1、10、100时PI控制器的波特图（蓝色是Ki=1，绿色是Ki=10，红色是Ki=100）。

附上实现代码：

Kp=1
Ki=1
PIs1=tf([Kp,Ki],[1,0])
Ki=10
PIs2=tf([Kp,Ki],[1,0])
Ki=100
PIs3=tf([Kp,Ki],[1,0])
figure(2)
bode(PIs1,PIs2,PIs3)
grid on
title('Bode Diagram of PI: Kp=1. Ki=1,10,100')

可以看到，PI控制器对高频信号的增益会较低，而对低频信号会有较大的放大作用。假如使用PI控制器对50Hz及以上（角频率314rad/sec）的正弦波进行跟踪，系统的跟踪特性会较差。而且会把低频噪声放大。

下图是当Kp分别取为1、10、100，Kr=1时理想的PR控制器的波特图（蓝色是Kp=1，绿色是Kp=10，红色是Kp=100）。

附实现代码

Kr=1;
Kp=1;
PR_ideal1 = Kp + tf([Kr,0],[1,0,wo^2])
Kp=10;
PR_ideal2 = Kp + tf([Kr,0],[1,0,wo^2])
Kp=100;
PR_ideal3 = Kp + tf([Kr,0],[1,0,wo^2])
bode(PR_ideal1,PR_ideal2,PR_ideal3)
grid on
title('Bode Diagram of ideal PR: Kp = 1,10,100. Kr = 1')

下图是当Kp=1，Kr分别取为1、10、100时理想的PR控制器的波特图（蓝色是Kr=1，绿色是Kr=10，红色是Kr=100）。

附实现代码

Kp=1;
Kr=1;
PR_ideal1 = Kp + tf([Kr,0],[1,0,wo^2])
Kr=10;
PR_ideal2 = Kp + tf([Kr,0],[1,0,wo^2])
Kr=100;
PR_ideal3 = Kp + tf([Kr,0],[1,0,wo^2])
figure(4)
bode(PR_ideal1,PR_ideal2,PR_ideal3)
grid on
title('Bode Diagram of ideal PR: Kp = 1. Kr = 1,10,100')

上面理想PR的波特图，可以看到就算调整PR的参数，波形也没什么大的变化。在实际使用中，可能进行实时调参的。图像变化这么小，跟踪效果也不会好。

接下来看看实际使用的PR控制器的波特图。

下图是当Kp分别取为1、10、100，Kr=1时实际的PR控制器的波特图（蓝色是Kp=1，绿色是Kp=10，红色是Kp=100）。

附实现代码

Kr=1;
Kp=1;
PR1=Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1,2*wc,wo^2])
Kp=10;
PR2=Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1,2*wc,wo^2])
Kp=100;
PR3=Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1,2*wc,wo^2])
bode(PR1,PR2,PR3)
grid on
title('Bode Diagram of actual PR: Kp = 1,10,100. Kr = 1')

下图是当Kp=1，Kr分别取为1、10、100时实际的PR控制器的波特图（蓝色是Kr=1，绿色是Kr=10，红色是Kr=100）。

附实现代码

Kp=1;
Kr=1;
PR1=Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1,2*wc,wo^2])
Kr=10;
PR2=Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1,2*wc,wo^2])
Kr=100;
PR3=Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1,2*wc,wo^2])
bode(PR1,PR2,PR3)
grid on
title('Bode Diagram of actual PR: Kp = 1. Kr = 1,10,100')

PI和PR的Kp作用类似，都是增大开环增益，增加控制精度。

Ki和Kr作用类似：降低系统稳态误差。

2、离散化预备知识

目的是对PR控制器的传递函数进行离散化。使其可以在数字控制器上编程实现。在这过程之前，要复习相关知识。同时便于检查离散化过程有无错误。

2.1 离散化表达式

传递函数离散化后，函数中消掉了拉普拉斯算子“s”，同时出现了“z”。有一个公式需要认识。

$\frac{Y\left ( z \right )}{U\left ( z \right )}=\frac{a_0+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+...+a_nz^{-n}}{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}+...+b_nz^{-n}}$

以上公式，转化为单片机或DSP可以执行的命令为：

$b_0y\left ( k \right )+b_1y\left ( k-1 \right )+b_2y\left ( k-2 \right )+...+b_ny\left ( k-n \right )=a_0u\left ( k \right )+a_1u\left ( k-1 \right )+a_2u\left ( k-2 \right )+...+a_nu\left ( k-n \right )$

2.2 离散化方法

离散化方法一览表[来自参考文献1]
Zero-order hold	$X\left ( z \right )=\left ( 1-z^{-1} \right )Z\left \{ L^{-1}\left \{ \frac{X\left ( s \right )}{s} \right \} \right \}$
First-order hold	$X\left ( z \right )=\frac{\left ( z-1 \right )^2}{zT_s} Z\left \{ L^{-1}\left \{ \frac{X\left ( s \right )}{s^2} \right \} \right \}$
Forward Euler	$s=\frac{z-1}{T_s}$
Backward Euler	$s=\frac{z-1}{zT_s}$
Trapezoid(Tustin)	$s=\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1}$
Tustin with pre-warping	$s=\frac{\omega _0}{tan\left ( \frac{\omega _0T_s}{2} \right )}\frac{z-1}{z+1}$
Zero-pole matching	$z=e^{sT_s}$
Impulse invariant	$X\left ( z \right )=Z\left \{ L^{-1}\left \{ X\left ( s \right ) \right \} \right \}$

看起来比较简单的方法是Forward Euler、Backward Euler、Trapezoid(Tustin)这三种了。直接把公式代入，用z消掉s就好了。

2.3 离散化练习题

用Trapezoid(Tustin)方法离散化PID控制器。

$\frac{Y\left ( s \right )}{U\left ( s \right )}=K_p+\frac{K_i}{s}+K_ds$

把 $s=\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1}$ 代入上式，得到

$\frac{Y\left ( s \right )}{U\left ( s \right )}=K_p+\frac{K_i}{\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1}}+K_d\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1}$

化简过程略，得到：

$\frac{Y\left ( z \right )}{U\left ( z \right )}= \frac{\frac{\left ( 2T_sK_p+T_s^2K_i+4K_d \right )}{2T_s}+\frac{\left ( 2T_s^2K_i-8K_d \right )}{2T_s}z^{-1}+\frac{\left ( -2T_sK_p+T_s^2K_i+4K_d \right )}{2T_s}z^{-2}}{1-z^{-2}}$

代入Kp=1；Ki=2；Kd=3；Ts=1/1000；可得到

$\frac{Y\left ( z \right )}{U\left ( z \right )}= \frac{6001-12000z^{-1}+5999z^{-2}}{1-z^{-2}}$

在Matlab中验证结果：

 Kp=1;Ki=2;Kd=3;Ts=1e-3;
 PID=tf([Kd,Kp,Ki],[1,0])
 c2d(PID,1e-3,'tustin')

可得到：

Transfer function:
6001 z^2 - 1.2e004 z + 5999
---------------------------
z^2 - 1

Sampling time: 0.001

和计算结果一致。

同时Matlab的c2d()函数总共支持五种离散方法。


    SYSD = C2D(SYSC,TS,METHOD) computes a discrete-time model SYSD with 
    sampling time TS that approximates the continuous-time model SYSC.
    The string METHOD selects the discretization method among the following:
       'zoh'       Zero-order hold on the inputs
       'foh'       Linear interpolation of inputs
       'impulse'   Impulse-invariant discretization
       'tustin'    Bilinear (Tustin) approximation.
       'matched'   Matched pole-zero method (for SISO systems only).
    The default is 'zoh' when METHOD is omitted.

3. 使用Matlab离散PR控制器

Kp=1;
Kr=10;
wc=2*pi*5;
wo=2*pi*50;
PRs=Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1,2*wc,wo^2])
PRz = c2d(PRs,1e-3,'tustin')

命令行输出：

Transfer function:
1.297 z^2 - 1.847 z + 0.643
---------------------------
z^2 - 1.847 z + 0.9405

Sampling time: 0.001

可得到，离散化后，数字实现的C语言为：

y_k - 1.847*y_k1 + 0.9405*y_k2 = 1.297*u_k - 1.847*u_k1 +0.643*u_k2;

即

y_k = 1.297*u_k - 1.847*u_k1 +0.643*u_k2 + 1.847*y_k1 - 0.9405*y_k2 ;

4、逆变器仿真模型中使用PR闭环控制器

Matlab/Simulink搭建了模型：

电气主回路中参数：滤波电感Lf=47uH，滤波电容Cf=1uF，负载Lf1=30欧姆。

控制回路：

PR控制器实现框图：

经过参数优化后，Kp=1000，Kr=100；wc=2*pi*5；wo=2*pi*50；

上图中，error = Vref - Vout/311。Vref为频率50Hz、幅值为1的正弦波。Vout是逆变器输出。可以看到闭环系统中误差可降到1mV *311=0.331V之内（1mV为error波形的幅值，311为电压标幺化基准值）。

参考资料1：Effects of Discretization Methods on the Performance of Resonant Controllers, Alcjandro G. Ycpcs, IEEE transactions on Power Electronics

参考资料2：PID控制器的数字实现及C语法讲解

参考资料3：比例谐振控制的一种实现（含代码）

参考资料4：采用比例谐振控制器的逆变器_叶礼清

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