线性代数—学习笔记

对分类超平面方程：

<W,Xi>+b=0

W=∑aj Xj,

∑aj <Xj,Xi>+b=0

设Xj,Xi均为列矩阵，aj 为数值，则

dot([a1,a2,...,am],dot([X1,X2,...,Xm],[Xi,Xi,...,Xi]))

=dot([X1,X2,...,Xm],[Xi,Xi,...,Xi])*[a1,a2,...,am]'

=Xi' * [X1,X2,...,Xm]*[a1,a2,...,am]'

 

φ：Xi-->φ(Xi)

∑aj <φ(Xj),φ(Xi)>+b=0

采用核函数K(Xj,Xi)=<φ(Xj),φ(Xi)>

∑aj K(Xj,Xi)+b=0

=[a1,a2,...,am]*[K(X1,Xi),K(X2,Xi),...,K(Xm,Xi)]'+b=0

 

矩阵的运算规律：ABC=A（BC）

 

1、行列式

2、矩阵的K阶子式及矩阵的秩

一. 数学概念

定义2.1　在                                 矩阵A中，任取k行与k列(k≤m,k≤n)，位于这些行列交叉处的k²个元素，不改变它们在矩阵中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。

定义2.1　设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作

R(A)。

1. 零矩阵的秩为0；

2.                             ；

3. 可逆矩阵称为满秩矩阵；

4. 不可逆矩阵称为降秩矩阵。

二. 原理公式和法则

    定理2.1　若A~B，则R(A)= R(B)。

根据这一定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换成行阶梯形矩阵，易见该矩阵最高阶非零子式的阶数。显然行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。这就给出求矩阵秩的方法。

 

3、逆矩阵及其求法

一、逆矩阵的概念

利用矩阵的乘法和矩阵相等的含义，可以把线性方程组写成矩阵形式。对于线性方程组

令A＝   X＝   B＝

则方程组可写成AX=B.

方程AX=B是线性方程组的矩阵表达形式，称为矩阵方程。其中A称为方程组的系数矩阵，X称为未知矩阵，B称为常数项矩阵。

这样，解线性方程组的问题就变成求矩阵方程中未知矩阵X的问题。类似于一元一次方程ax=b（a≠0）的解可以写成x=a^-1b，矩阵方程AX=B的解是否也可以表示为X=A^-1B的形式？如果可以，则X可求出，但A^-1的含义和存在的条件是什么呢？下面来讨论这些问题。

定义11  对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵C，使得AC=CA=E（E为n阶单位矩阵），则把方阵C称为A的逆矩阵（简称逆阵）记作A^-1，即C=A^-1。

逆矩阵有如下性质：

（1）若A是可逆的，则逆矩阵唯一。

（2）若A可逆，则(A^-1)^-1=A.

（3）若A、B为同阶方阵且均可逆，则AB可逆，且(AB)^-1=B^-1A^-1

（4）若A可逆，则detA≠0。反之，若detA≠0，则A是可逆的。

 

二、逆矩阵的求法

1、用伴随矩阵求逆矩阵

2、用初等变换求逆矩阵

用初等变换求一个可逆矩阵A的逆矩阵，其具体方法为：把方阵A和同阶的单位矩阵E，写成一个长方矩阵，对该矩阵的行实施初等变换，当虚线左边的A变成单位矩阵E时，虚线右边的E变成了A^-1即

从而可求A^-1。