定义：
如图，C为平面上一条光滑的简单曲线:
z
=
z
(
t
)
=
x
(
t
)
+
i
y
(
t
)
(
α
⩽
t
⩽
β
)
z=z(t)=x(t)+iy(t)~(\alpha\leqslant t\leqslant\beta)
z=z(t)=x(t)+iy(t) (α⩽t⩽β)其起点为
A
：
a
=
z
(
α
)
A：a=z(\alpha)
A：a=z(α)，终点为
B
：
b
=
z
(
β
)
B：b=z(\beta)
B：b=z(β)。复函数
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在 C 上有定义。现沿曲线从
A
→
B
A\rightarrow B
A→B 依次取分点：
a
=
z
0
,
z
1
,
z
2
,
⋯
,
z
k
,
⋯
,
z
n
=
b
a=z_0,z_1,z_2,\cdots,z_k,\cdots,z_n=b
a=z0,z1,z2,⋯,zk,⋯,zn=b将曲线分为若干段，从弧段
z
k
−
1
z
k
⌢
\overset{\LARGE{\frown}}{z_{k-1}z_k}
zk−1zk⌢ 中任取一点
ζ
k
=
ξ
k
+
i
η
k
\zeta_k=\xi_k+i\eta_k
ζk=ξk+iηk，作和式：
S
n
=
∑
k
=
1
n
f
(
ζ
k
)
(
z
k
−
z
k
−
1
)
=
∑
k
=
1
n
f
(
ζ
k
)
Δ
z
k
=
∑
k
=
1
n
f
(
ζ
k
)
(
Δ
x
k
+
i
Δ
y
k
)
S_n=\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)(z_k-z_{k-1}) =\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)\Delta z_k =\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)(\Delta x_k+i\Delta y_k)
Sn=k=1∑nf(ζk)(zk−zk−1)=k=1∑nf(ζk)Δzk=k=1∑nf(ζk)(Δxk+iΔyk)设
λ
=
max
1
⩽
k
⩽
n
∣
Δ
z
k
∣
\lambda=\max_{1\leqslant k\leqslant n}|\Delta z_k|
λ=1⩽k⩽nmax∣Δzk∣
若
λ
→
0
\lambda\rightarrow 0
λ→0 时，
S
n
S_n
Sn 的极限存在，且不依赖于对曲线 C 的分法和对
ζ
k
\zeta_k
ζk 的选取方式。则称该极限值为
f
(
z
)
f(z)
f(z) 沿曲线 C 从 A 到 B 的复积分，记作
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
lim
λ
→
0
S
n
=
lim
λ
→
0
∑
k
=
1
n
f
(
ζ
k
)
Δ
z
k
\int_Cf(z)dz=\lim_{\lambda\rightarrow 0}S_n=\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)\Delta z_k
∫Cf(z)dz=λ→0limSn=λ→0limk=1∑nf(ζk)Δzk特别地，沿 C 负方向（由B至A）的积分记作：
∫
C
−
f
(
z
)
d
z
\int_{C^-}f(z)dz
∫C−f(z)dz当C为光滑闭曲线时（单周线的正向为逆时针方向），积分记作：
∮
C
f
(
z
)
d
z
\oint_{C}f(z)dz
∮Cf(z)dz
定理：若函数
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在光滑曲线 C 上连续，则复积分
∫
C
f
(
z
)
d
z
\int_Cf(z)dz
∫Cf(z)dz 存在，且复积分可通过计算两个二元实变函数的第二型曲线积分来得到：
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
(
∫
C
u
d
x
−
v
d
y
)
+
i
(
∫
C
u
d
y
+
v
d
x
)
(
1
)
\int_Cf(z)dz=\left(\int_Cudx-vdy\right)+i\left(\int_Cudy+vdx\right) \qquad(1)
∫Cf(z)dz=(∫Cudx−vdy)+i(∫Cudy+vdx)(1)
证明：
S
n
=
∑
k
=
1
n
f
(
ζ
k
)
Δ
z
k
=
∑
k
=
1
n
[
u
(
ξ
k
,
η
k
)
+
i
v
(
ξ
k
,
η
k
)
]
(
Δ
x
k
+
i
Δ
y
k
)
=
∑
k
=
1
n
(
u
k
Δ
x
k
−
v
k
Δ
y
k
)
+
i
∑
k
=
1
n
(
u
k
Δ
y
k
−
v
k
Δ
x
k
)
=
S
n
R
+
i
S
n
I
\begin{aligned} S_n&=\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)\Delta z_k =\sum_{k=1}^n\left[u(\xi_k,\eta_k)+iv(\xi_k,\eta_k)\right](\Delta x_k+i\Delta y_k)\\\\ &=\sum_{k=1}^n\left(u_k\Delta x_k-v_k\Delta y_k\right)+i\sum_{k=1}^n\left(u_k\Delta y_k-v_k\Delta x_k\right)\\\\ &=S_n^R+iS_n^I \end{aligned}
Sn=k=1∑nf(ζk)Δzk=k=1∑n[u(ξk,ηk)+iv(ξk,ηk)](Δxk+iΔyk)=k=1∑n(ukΔxk−vkΔyk)+ik=1∑n(ukΔyk−vkΔxk)=SnR+iSnI由于复变函数沿曲线 C 连续，故
u
,
v
u,v
u,v 沿曲线 C 连续，那么和式
S
n
R
,
S
n
I
S_n^R,~S_n^I
SnR, SnI 的极限存在，且极限为相应的第二型曲线积分。故复积分也存在，并且满足定理中的计算公式。
Remark：
1）为方便记忆将复积分化作曲线积分的公式 (1) ,形式上可看作：
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
∫
C
(
u
+
i
v
)
(
d
x
+
i
d
y
)
=
(
∫
C
u
d
x
−
v
d
y
)
+
i
(
∫
C
u
d
y
+
v
d
x
)
\int_Cf(z)dz=\int_C(u+iv)(dx+idy)=\left(\int_Cudx-vdy\right)+i\left(\int_Cudy+vdx\right)
∫Cf(z)dz=∫C(u+iv)(dx+idy)=(∫Cudx−vdy)+i(∫Cudy+vdx)
2）我们还可将复积分化作普通的定积分（复积分的变量代换公式）：
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
(
∫
C
u
d
x
−
v
d
y
)
+
i
(
∫
C
u
d
y
+
v
d
x
)
=
∫
α
β
[
u
x
′
(
t
)
−
v
y
′
(
t
)
]
d
t
+
i
∫
α
β
[
u
y
′
(
t
)
+
v
x
′
(
t
)
]
d
t
=
∫
α
β
(
u
+
i
v
)
(
x
′
+
i
y
′
)
d
t
=
∫
α
β
f
(
z
(
t
)
)
z
′
(
t
)
d
t
=
∫
α
β
R
e
[
f
(
z
)
z
′
(
t
)
]
d
t
+
i
∫
α
β
I
m
[
f
(
z
)
z
′
(
t
)
]
d
t
(
2
)
\begin{aligned} \int_Cf(z)dz&=\left(\int_Cudx-vdy\right)+i\left(\int_Cudy+vdx\right) \\\\ &=\int_\alpha^\beta\left[ux'(t)-vy'(t)\right]dt+i\int_\alpha^\beta\left[uy'(t)+vx'(t)\right]dt \\\\ &=\int_\alpha^\beta(u+iv)(x'+iy')dt\\\\ &=\int_\alpha^\beta f(z(t))z'(t)dt\\\\ &=\int_\alpha^\beta Re[f(z)z'(t)]dt+i\int_\alpha^\beta Im[f(z)z'(t)]dt \qquad\qquad\qquad\qquad(2) \end{aligned}
∫Cf(z)dz=(∫Cudx−vdy)+i(∫Cudy+vdx)=∫αβ[ux′(t)−vy′(t)]dt+i∫αβ[uy′(t)+vx′(t)]dt=∫αβ(u+iv)(x′+iy′)dt=∫αβf(z(t))z′(t)dt=∫αβRe[f(z)z′(t)]dt+i∫αβIm[f(z)z′(t)]dt(2)
设光滑曲线 C 为以
z
0
z_0
z0 为中心，
r
r
r 为半径的圆周，且
n
∈
Z
n\in \mathbb Z
n∈Z，则有：
∮
c
d
z
(
z
−
z
0
)
n
=
{
2
π
i
(
n
=
1
)
0
(
n
≠
1
)
\oint_c\dfrac{dz}{(z-z_0)^n}=\begin{cases}2\pi i&(n=1)\\\\0&(n\ne1)\end{cases}
∮c(z−z0)ndz=⎩
⎨
⎧2πi0(n=1)(n=1)
证明：曲线C的参数方程为：
z
(
t
)
=
z
0
+
r
e
i
θ
=
[
R
e
(
z
0
)
+
r
c
o
s
θ
]
+
i
[
I
m
(
z
0
)
+
r
s
i
n
θ
]
,
θ
∈
(
−
π
,
π
]
z(t)=z_0+re^{i\theta}=[Re(z_0)+rcos\theta]+i[Im(z_0)+rsin\theta],\qquad\theta\in(-\pi,\pi]
z(t)=z0+reiθ=[Re(z0)+rcosθ]+i[Im(z0)+rsinθ],θ∈(−π,π]则
z
′
(
t
)
=
−
r
s
i
n
θ
+
i
r
c
o
s
θ
=
i
r
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
=
i
r
e
i
θ
z'(t)=-rsin\theta+ircos\theta=ir(cos\theta+isin\theta)=ire^{i\theta}
z′(t)=−rsinθ+ircosθ=ir(cosθ+isinθ)=ireiθ故
∮
c
d
z
(
z
−
z
0
)
n
=
∫
−
π
π
i
r
e
i
θ
r
n
e
i
n
θ
d
θ
=
i
r
n
−
1
∫
−
π
π
e
−
i
(
n
−
1
)
θ
d
θ
=
i
r
n
−
1
∫
−
π
π
c
o
s
[
(
n
−
1
)
θ
]
d
θ
+
1
r
n
−
1
∫
−
π
π
s
i
n
[
(
n
−
1
)
θ
]
d
θ
=
{
2
π
i
(
n
=
1
)
0
(
n
≠
1
)
\begin{aligned} \oint_c\dfrac{dz}{(z-z_0)^n}&=\int_{-\pi}^\pi\dfrac{ire^{i\theta}}{r^ne^{in\theta}}d\theta\\\\ &=\dfrac{i}{r^{n-1}}\int_{-\pi}^\pi e^{-i(n-1)\theta}d\theta\\\\ &=\dfrac{i}{r^{n-1}}\int_{-\pi}^\pi cos[(n-1)\theta ]d\theta+\dfrac{1}{r^{n-1}}\int_{-\pi}^\pi sin[(n-1)\theta ]d\theta\\\\ &=\begin{cases} 2\pi i&(n=1)\\\\ 0&(n\ne1) \end{cases} \end{aligned}
∮c(z−z0)ndz=∫−ππrneinθireiθdθ=rn−1i∫−ππe−i(n−1)θdθ=rn−1i∫−ππcos[(n−1)θ]dθ+rn−11∫−ππsin[(n−1)θ]dθ=⎩
⎨
⎧2πi0(n=1)(n=1)(证毕.)
设 f ( z ) , g ( z ) f(z),~g(z) f(z), g(z) 沿光滑曲线 C 连续（确保相应复积分存在），则根据复积分的定义不难得到：
1） ∫ c k f ( z ) d z = k ∫ c f ( z ) d z , ( k ∈ C ) \int_ckf(z)dz=k\int_cf(z)dz,\quad (k\in\mathbb C) ∫ckf(z)dz=k∫cf(z)dz,(k∈C) 2） ∫ c [ f ( z ) ± g ( z ) ] d z = ∫ c f ( z ) d z ± ∫ c g ( z ) d z \int_c[f(z)\pm g(z)]dz=\int_cf(z)dz\pm\int_cg(z)dz ∫c[f(z)±g(z)]dz=∫cf(z)dz±∫cg(z)dz3） ∫ c f ( z ) d z = ∫ c 1 f ( z ) d z + ∫ c 2 f ( z ) d z , ( C = C 1 ∪ C 2 ) \int_cf(z)dz=\int_{c_1}f(z)dz+\int_{c_2}f(z)dz,\quad(C=C_1\cup C_2) ∫cf(z)dz=∫c1f(z)dz+∫c2f(z)dz,(C=C1∪C2)4） ∫ c f ( z ) d z = − ∫ c − f ( z ) d z \int_cf(z)dz=-\int_{c^-}f(z)dz ∫cf(z)dz=−∫c−f(z)dz此外，关于复函数的积分也有类似的不等式：
5） ∣ ∫ c f ( z ) d z ∣ ⩽ ∫ c ∣ f ( z ) ∣ d s = ∫ c ∣ f ( z ) ∣ ∣ d z ∣ \left|\int_cf(z)dz\right|\leqslant\int_c|f(z)|ds=\int_c|f(z)||dz| ∫cf(z)dz ⩽∫c∣f(z)∣ds=∫c∣f(z)∣∣dz∣其中，不等式右端是实连续函数 ∣ f ( z ) ∣ |f(z)| ∣f(z)∣ 沿曲线 C 的第一型曲线积分。
证明：由于复数的模满足三角不等式，故
∣
∑
k
=
1
n
f
(
ζ
k
)
Δ
z
k
∣
⩽
∑
k
=
1
n
∣
f
(
ζ
k
)
∣
∣
Δ
z
k
∣
⩽
∑
k
=
1
n
∣
f
(
ζ
k
)
∣
Δ
s
k
\left|\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)\Delta z_k\right| \leqslant \sum_{k=1}^n|f(\zeta_k)||\Delta z_k| \leqslant \sum_{k=1}^n|f(\zeta_k)|\Delta s_k
k=1∑nf(ζk)Δzk
⩽k=1∑n∣f(ζk)∣∣Δzk∣⩽k=1∑n∣f(ζk)∣Δsk
其中，
Δ
s
k
\Delta s_k
Δsk 为微弧段
z
k
−
1
z
k
⌢
\overset{\LARGE{\frown}}{z_{k-1}z_{k}}
zk−1zk⌢ 的弧长，故满足
∣
Δ
z
k
∣
=
(
Δ
x
k
)
2
+
(
Δ
y
k
)
2
⩽
Δ
s
k
|\Delta z_k|=\sqrt{(\Delta x_k)^2+(\Delta y_k)^2}\leqslant\Delta s_k
∣Δzk∣=(Δxk)2+(Δyk)2
⩽Δsk对不等式两侧取极限，即可得不等号成立，又
∣
d
z
∣
=
(
d
x
)
2
+
(
d
y
)
2
=
d
s
|dz|=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=ds
∣dz∣=(dx)2+(dy)2
=ds故等号也可得证。（证毕）
推论：（积分估值定理） 若在 C 上有
∣
f
(
z
)
∣
⩽
M
|f(z)|\leqslant M
∣f(z)∣⩽M，而 C 的长度为
L
L
L，那么有：
∣
∫
c
f
(
z
)
d
z
∣
⩽
∫
c
∣
f
(
z
)
∣
d
s
⩽
∫
c
M
d
s
=
M
∫
c
d
s
=
M
L
\left|\int_cf(z)dz\right|\leqslant\int_c|f(z)|ds\leqslant\int_cMds=M\int_cds=ML
∫cf(z)dz
⩽∫c∣f(z)∣ds⩽∫cMds=M∫cds=ML
