受到蜜蜂群体的有组织的觅食过程的启发，Karaboga提出了模拟蜜蜂群体觅食过程的人工蜂群(Artificial Bee Colony) 算法用于解决多维度多峰谷的优化问题。该算法创始之初被用来寻找Sphere、Rosenbrock和Rastrigin函数的最小值。
首先对蜜蜂基于摇摆舞进行觅食的过程特征进行介绍。在图1中，存在两个已发现的食物源A和B。初始时，潜在工蜂以非雇佣蜂的身份进行搜索。它并不知道蜂房附近的任何蜜源的信息。因此，它有以下两个可能的选择：
（1）成为一个侦察蜂，秉着自身潜在动力或外在因素自发的搜索蜂房附近的区域(见图1中的S)；
（2）在观看摆尾舞后，成为一个被招募者，并开始搜索蜜源(见图1中的R)。
在定位蜜源之后，该蜜蜂能够利用自身的能力来记住食物源的位置，并立刻对它进行探索。该蜜蜂现在成为了一个雇佣蜂。雇佣蜂采到蜂蜜后，从蜜源处返回蜂房并将蜂蜜卸载到蜜室中。在卸载完蜂蜜后，雇佣蜂有下列三个选择：
（1）放弃已经采集过的蜜源，成为一个受其他摇尾舞招募的跟随者(UF)。
（2）施展摇尾舞技，招募蜂房内的同伴，再次回到原先采集过的食物源(EF1)。
（3）不招募其它的蜜蜂，继续探索采集过的食物源(EF2)。
人工蜂群算法由连续的四个阶段组成，分别是初始化阶段、引领(雇佣)蜂阶段、跟随蜂阶端和侦察蜂阶段。
人工蜂群算法中将人工蜂群分为引领蜂、跟随蜂和侦察蜂三类，每一次搜索过程中，引领蜂和跟随蜂是先后开采食物源，即寻找最优解，而侦察蜂是观察是否陷入局部最优，若陷入局部最优则随机地搜索其它可能的食物源。每个食物源代表问题一个可能解，食物源的花蜜量对应相应解的质量（适应度值
f
i
t
fit
fit）。
ABC算法流程图如图2所示。
人工蜂群算法搜索过程中，首先需要初始化，其中包括种群数量、最大迭代次数、控制参数和确定搜索空间即解的范围，在搜索空间中随机生成初始解 x i ( i = 1 , 2 , 3 , … … , N P ) x_i(i=1,2,3,……,NP) xi(i=1,2,3,……,NP)， N P NP NP为食物源数量，每个解 x i x_i xi是一个 D D D维的向量， D D D是问题的维数。初始化之后，整个种群将进行引领蜂、跟随蜂和侦察蜂搜寻过程的重复循环，直到达到最大迭代次数或误差允许值。
每个引领蜂由式(1)产生一个新解即新食物源， v i j = x i j + ϕ i j ( x i j − x k j ) (1) v_{ij}=x_{ij}+\phi_{ij}(x_{ij}-x_{kj})\tag{1} vij=xij+ϕij(xij−xkj)(1)其中， k = 1 , 2 , . . . , N P , j = 1 , 2 , . . . , D k={1,2,...,NP},j={1,2,...,D} k=1,2,...,NP,j=1,2,...,D，且 k ≠ i k≠i k=i； ϕ i j \phi_{ij} ϕij为 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]之间的随机数。计算新解的 f i t i fit_i fiti并评价它，若新解的 f i t i fit_i fiti优于旧解，则引领蜂更新旧解为新解。反之，保留旧解。
在所有引领蜂完成搜寻过程之后，引领蜂会在招募区跳摇摆舞把解的信息与跟随蜂分享。跟随蜂根据式(2)(即轮盘赌法)计算每个解的选择概率， p i = f i t i ∑ k = 1 N P f i t k (2) p_i=\frac{fit_i}{\displaystyle\sum_{k=1}^{NP}fit_k}\tag{2} pi=k=1∑NPfitkfiti(2)然后在区间 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]内随机产生一个数，如果解的概率值大于该随机数，则跟随蜂由式(1)产生一个新解，并检验新解的 f i t i fit_i fiti，若新解的 f i t i fit_i fiti比之前好，则跟随蜂更新旧解为新解；反之，保留旧解。
在所有跟随蜂完成搜寻过程之后，如果一个解经过探索限值 l i m i t limit limit次循环仍然没有被进一步更新，那么就认为此解陷入局部最优，该食物源就会被丢弃。设食物源 x i x_i xi被丢弃，则此食物源对应的引领蜂变成一个侦查蜂。侦察蜂由(3)式产生一个新的食物源代替它。 x i j = x j m i n + r i j ( x j m a x − x j m i n ) (3) x_{ij}=x_j^{min}+r_{ij}(x_j^{max}-x_j^{min})\tag{3} xij=xjmin+rij(xjmax−xjmin)(3)其中 i = 1 , 2 , ⋯ , N P , j = 1 , 2 , ⋯ , D i=1,2,\cdots,NP,j=1,2,\cdots,D i=1,2,⋯,NP,j=1,2,⋯,D， x i j x_{ij} xij是第 i i i个解的第 j j j个维度， x j m a x x_j^{max} xjmax和 x j m i n x_j^{min} xjmin分别是问题第 j j j个维度的上限和下限， r i j r_{ij} rij是一个 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]之间的随机数。然后返回引领蜂搜索过程，开始重复循环。
在食物源初始化或者每个食物源被分配给每个引领蜂后，采用公式(4)来计算每个解的适应度。 f i t i ( t ) = { 1 1 + f i ( t ) f i ( t ) ≥ 0 1 + ∣ f i ( t ) ∣ f i ( t ) < 0 (4) fit_i(t)=\begin{dcases}\frac{1}{1+f_i(t)}\quad f_i(t)≥0\\1+|f_i(t)|\quad f_i(t)<0\end{dcases}\tag{4} fiti(t)=⎩⎨⎧1+fi(t)1fi(t)≥01+∣fi(t)∣fi(t)<0(4)其中， f i t i fit_i fiti是第 i i i个解的适应值， f i f_i fi是第 i i i个个体对于优化问题的目标函数。
程序运行之前，清除工作空间Workspace中的变量及Command Window中的命令。具体程序如下：
%% 清空环境变量
clc;
clear;
close all;
在进行优化之前，需要明确优化的目标函数。具体程序如下：
%% 问题设定
CostFunction = @(x) Rosenbrock(x); % 目标函数
nVar = 5; % 变量个数
VarSize = [1 nVar]; % 变量矩阵
VarMin = -10; % 变量下限
VarMax = 10; % 变量上限
Rosenbrock函数的三维立体图如图3所示。
function [y] = Rosenbrock(xx)
%% Rosenbrock函数
d = length(xx);
sum = 0;
for ii = 1:(d-1)
xi = xx(ii);
xnext = xx(ii+1);
new = 100*(xnext-xi^2)^2 + (xi-1)^2;
sum = sum + new;
end
y = sum;
代码如下：
%% ABC参数
%% ABC参数
MaxIt = 200; % 最大迭代次数
nPop = 100; % 蜂群大小
nOnlooker = nPop; % 侦察蜂个数
L = round(0.6*nVar*nPop); % 探索极值限制参数
a = 1; % 加速度系数上限
在计算之前，需要对蜜蜂种群进行初始化。同时，为了加快程序的执行速度，对于程序中涉及的一些过程变量，需要预分配其存储容量。具体程序如下：
%% 初始化
% 置空蜜蜂矩阵
empty_bee.Position = [];
empty_bee.Cost = [];
% 初始化蜂群数组
pop = repmat(empty_bee, nPop, 1);
% 初始化最优解
BestSol.Cost = inf;
% 产生初始种群
for i = 1:nPop
pop(i).Position = unifrnd(VarMin, VarMax, VarSize);
pop(i).Cost = CostFunction(pop(i).Position);
if pop(i).Cost <= BestSol.Cost
BestSol = pop(i);
end
end
% 丢解计数器
C = zeros(nPop, 1);
% 保存最优函数值的数组
BestCost = zeros(MaxIt, 1);
代码如下：
%% ABC迭代
for it = 1:MaxIt
% 引领蜂
for i = 1:nPop
% 随机选择不等于i的k
K = [1:i-1 i+1:nPop];
k = K(randi([1 numel(K)]));
% 定义加速度系数
phi = a*unifrnd(-1, +1, VarSize);
% 新的蜜蜂位置
newbee.Position = pop(i).Position+phi.*(pop(i).Position-pop(k).Position);
% 边界处理
newbee.Position = max(newbee.Position, VarMin);
newbee.Position = min(newbee.Position, VarMax);
% 新的蜜蜂函数值
newbee.Cost = CostFunction(newbee.Position);
% 比较
if newbee.Cost <= pop(i).Cost
pop(i) = newbee;
else
C(i) = C(i)+1;
end
end
% 计算适应度值和选择概率
F = zeros(nPop, 1);
MeanCost = mean([pop.Cost]);
for i = 1:nPop
% 将函数值转换为适应度
if pop(i).Cost >= 0
F(i) = 1/(1+pop(i).Cost);
else
F(i) = 1+abs(pop(i).Cost);
end
end
P = F/sum(F);
% 跟随蜂
for m = 1:nOnlooker
% 选择食物源
i = RouletteWheelSelection(P);
% 随机选择不等于i的k
K = [1:i-1 i+1:nPop];
k = K(randi([1 numel(K)]));
% 定义加速度系数
phi = a*unifrnd(-1, +1, VarSize);
% 新的蜜蜂位置
newbee.Position = pop(i).Position+phi.*(pop(i).Position-pop(k).Position);
% 边界处理
newbee.Position = max(newbee.Position, VarMin);
newbee.Position = min(newbee.Position, VarMax);
% 新的蜜蜂函数值
newbee.Cost = CostFunction(newbee.Position);
% 比较
if newbee.Cost <= pop(i).Cost
pop(i) = newbee;
else
C(i) = C(i) + 1;
end
end
% 侦察蜂
for i = 1:nPop
if C(i) >= L % 超出探索极值参数
maxPos = max(pop(i).Position);
minPos = min(pop(i).Position);
for j = 1:numel(pop(i).Position)
pop(i).Position(j) = minPos+rand*(maxPos-minPos);
end
pop(i).Cost = CostFunction(pop(i).Position);
C(i) = 0;
end
end
% 更新每轮最优解
for i = 1:nPop
if pop(i).Cost <= BestSol.Cost
BestSol = pop(i);
end
end
% 保存每轮最优解
BestCost(it) = BestSol.Cost;
% 显示迭代信息
disp(['Iteration ' num2str(it) ': Best Cost = ' num2str(BestCost(it))]);
end
为了更为直观地对结果进行观察和分析，以图形的形式将结果显示出来，具体程序如下：
%% 结果显示
figure;
% plot(BestCost, 'LineWidth', 2);
semilogy(BestCost, 'r', 'LineWidth', 2);
xlabel('Iteration');
ylabel('Best Cost');
grid on;
ABC算法进化过程如图4所示。
[1] D. Karaboga. An idea based on honey bee swarm for numerical optimization[M]. Technical report-tr06, Erciyes university, engineering faculty, computer engineering department, 2005.
[2] 于文杰. 基于人工蜂群算法的无线传感器网络部署问题研究[D]. 成都: 电子科技大学, 2018.