R语言实战笔记–第八章 OLS回归分析
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首先，是之前的文章，数理统计里面的简单回归分析，这里简单回顾一下：
简单回归分析的原理：最小二乘法，即使回归函数与实际值之差的平方和最小。所以它在R中也称为OLS模型，它能实现的回归分析为简单线性回归、多项式回归以及多元线性回归。
模型中的称谓：自变量、解释变量及预测变量为x，因变量、结果变量、效标变量及预测响应变量为y，用x,y解释对我们从小就学习 y=a+bx 的人来说是最容易理解不过了。
使用OLS的前提条件：正态性（对于固定的x，y呈正态分布）；独立性（各个y值之间独立）；线性（y和x是线性关系，这也是简单回归分析需要先做相关性检验）；同方差性（y的方差不变，不会因为x的水平不同而改变，意思即为，y是观察值，它应该是不会随机某个变量的改变而拿到我们的观察值跟着变化的）。
然后是在R中的实现，R中实现OLS很简单，就一个函数lm()，其使用方法为：fit<-lm(formula,data),其中formula表达式的的形式为：Y~X1+X2+X3……+Xk，~左边为响应变量，右边为预测变量。对这个表达式，还有一个表来说明它的使用方式，如下：
| 符号 |
用途 |
| ~ |
分隔符号，左边为响应变量，右边为解释变量。例如，要通过x、z和w预测y，代码为y ~ x + z + w |
| + |
分隔预测变量 |
| : |
表示预测变量的交互项。例如，要通过x、z及x与z的交互项预测y，代码为y ~ x + z + x:z |
| * |
表示所有可能交互项的简洁方式。代码y~ x * z * w可展开为y ~ x + z + w + x:z + x:w + z:w + x:z:w |
| ^ |
表示交互项达到某个次数。代码y ~ (x + z + w)^2可展开为y ~ x + z + w + x:z + x:w + z:w |
| . |
表示包含除因变量外的所有变量。例如，若一个数据框包含变量x、y、z和w，代码y ~ .可展开为y ~ x + z + w |
| - |
减号，表示从等式中移除某个变量。例如，y ~ (x + z + w)^2 – x:w可展开为y ~ x + z + w + x:z + z:w |
| -1 |
删除截距项。例如，表达式y ~ x -1拟合y在x上的回归，并强制直线通过原点 |
| I() |
从算术的角度来解释括号中的元素。例如，y ~ x + (z + w)^2将展开为y ~ x + z + w + z:w。相反, 代码y~ x + I((z + w)^2)将展开为y ~ x + h, h是一个由z和w的平方和创建的新变量 |
| function |
可以在表达式中用的数学函数。例如，log(y) ~ x + z + w表示通过x、z和w来预测log(y) |
还有一个表，是对拟合出来的模型进行处理的，比如summary(fit)可以展示拟合模型的详细结果，如下表：
| 函 数 |
用 途 |
| summary() |
展示拟合模型的详细结果 |
| coefficients() |
列出拟合模型的模型参数（截距项和斜率） |
| confint() |
提供模型参数的置信区间（默认95%） |
| fitted() |
列出拟合模型的预测值 |
| residuals() |
列出拟合模型的残差值 |
| anova() |
生成一个拟合模型的方差分析表，或者比较两个或更多拟合模型的方差分析表 |
| vcov() |
列出模型参数的协方差矩阵 |
| AIC() |
输出赤池信息统计量 |
| plot() |
生成评价拟合模型的诊断图 |
| predict() |
用拟合模型对新的数据集预测响应变量值 |
前面是lm函数的基础，然而，在这章中所有的内容都需要理解，关键是里面的解释，总结一下各小节的关键点如下：
拟合回归
以一个综合的公式来表达如下：
