还是先从公式入手进行理解,相比全局莫兰指数,局部莫兰指数的计算方式要简洁许多,其计算方式如下:
I
i
=
Z
i
S
2
∑
j
≠
i
n
w
i
j
Z
j
\mathit{I_{i}=\frac{Z_{i}}{S^2}\sum\limits_{j\not=i}^{n}w_{ij}Z_{j}}
Ii=S2Zij=i∑nwijZj 其中,
Z
i
=
y
i
−
y
ˉ
Z_{i}=y_{i}-\bar{y}
Zi=yi−yˉ,
Z
j
=
y
j
−
y
ˉ
Z_{j}=y_{j}-\bar{y}
Zj=yj−yˉ,
S
2
=
1
n
∑
(
y
i
−
y
ˉ
)
2
S^2=\frac{1}{n}\sum{(y_i-\bar{y})^2}
S2=n1∑(yi−yˉ)2,
w
i
j
w_{ij}
wij为空间权重值,
n
n
n为研究区域上所有地区的总数,
I
i
I_{i}
Ii则代表第
i
{i}
i个地区的局部莫兰指数。为了方便理解,这里的
y
i
(
j
)
y_{i(j)}
yi(j)还是代表第
i
(
j
)
i(j)
i(j)地区的人均GDP,并将求和号展开(
S
2
S^2
S2总是正的,相当于只是对整个式子进行标准化而已,故这里省略了):
I
i
=
(
y
i
−
y
ˉ
)
[
w
i
1
(
y
1
−
y
ˉ
)
+
w
i
2
(
y
2
−
y
ˉ
)
+
.
.
.
w
i
(
i
−
1
)
(
y
i
−
1
−
y
ˉ
)
+
w
i
(
i
+
1
)
(
y
i
+
1
−
y
ˉ
)
+
.
.
.
+
w
i
n
(
y
n
−
y
ˉ
)
]
I_{i}=(y_{i}-\bar{y})[w_{i1}(y_{1}-\bar{y})+w_{i2}(y_{2}-\bar{y})+...w_{i(i-1)}(y_{i-1}-\bar{y})+w_{i(i+1)}(y_{i+1}-\bar{y})+...+w_{in}(y_{n}-\bar{y})]
Ii=(yi−yˉ)[wi1(y1−yˉ)+wi2(y2−yˉ)+...wi(i−1)(yi−1−yˉ)+wi(i+1)(yi+1−yˉ)+...+win(yn−yˉ)]
从上式不难看出,
I
i
I_{i}
Ii的正负取决于
y
i
−
y
ˉ
y_{i}-\bar{y}
yi−yˉ和后面那一坨。前者可反映出第
i
i
i个地区的经济发展水平与整个区域的平均水平之间的高低情况,后者则反映出第
i
i
i个地区的周边地区与整个区域水平之间的高低情况。两个式子都有高低两种可能性,两两组合,共有四种情况。
以表格的方式呈现如下:
Z
i
Z_{i}
Zi
∑
j
≠
i
n
w
i
j
Z
j
\sum\limits_{j\not=i}^{n}w_{ij}Z_{j}
j=i∑nwijZj
顺便提一下,既然全局莫兰指数和局部莫兰指数都称莫兰指数,两者肯定是有关系的,数学公式表达如下:
I
=
∑
i
I
i
S
0
∑
i
Z
i
n
I=\frac{\sum\limits_{i}I_{i}}{S_{0}\frac{\sum\limits_{i}{Z_i}}{n}}
I=S0ni∑Zii∑Ii
更多详细的内容,有兴趣的小伙伴可参考: Anselin L . Local Indicators of Spatial Association—LISA[J]. Geographical analysis, 1995, 27(2):93-115.
三、LISA聚集图
说到这儿,好像还没说局部莫兰指数怎么检验吧!其实,检验方法一样还是利用Z检验:
Z
i
=
I
i
−
E
(
I
i
)
v
a
r
(
I
i
)
Z_{i}=\frac{I_{i}-E(I_{i})}{\sqrt{var(I_{i})}}
Zi=var(Ii)Ii−E(Ii) 其实,上面那个moran’I散点图并没有对各个区县的局部莫兰指数进行检验,LISA聚集图在就在给定的显著性水平下,对于那些通过显著性检验的区县以地图的方式呈现出来,绘制的LISA聚集图如下: