当
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时，
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代入（23）（为减少篇幅就不在此写出完整的
23式,下同）式得：
即：
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(25) (25)式正是（22）.
九.加权不等式
9.1若
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(
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),且
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,则：
(26)
(26)式就是加权的均值不等式，简称加权不等式。
(26)式形式直接理解为：几何均值不大于算术均值。
十.赫尔德不等式
10.1若实数
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,实数
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且
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,则：
(27)
当
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时，等号成立。（27）式称为
杨氏不等式
10.2若
![]()
和
![]()
为正实数，
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且
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,则：
（28）
（28）式称为赫尔德不等式。
当
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时等号成立。
10.3赫尔德不等式还可以写成：
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(29)
即：
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,即：
(30)
简称：“幂均值的几何均值不小于积均值”。
（注：赫尔德与切比雪夫的不同点：赫尔德要求是
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,切比雪夫要求是
同调；赫尔德的积均值小，切比雪夫的积均值大。）
10.4若
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、
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和
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为三个正实数序列，
![]()
且
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，则：
(31)
(31)式称为加权赫尔德不等式。当
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时，等号成立。
10.5
![]()
.
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为正实数且
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,则：
(32)
（32）称为普遍的赫尔德不等式。
10.6 推论：若
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,则：
(33)
简称：”立方和的乘积不小于乘积和的立方“。
十一.闵科夫斯基不等式
11.1若
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为正实数，且
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,则：
(34)
当
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时，等号成立。 （34）式称为
第一闵科夫斯基不等式。
11.2若
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为正实数，且
![]()
,则：
(35)
当
![]()
时，等号成立。 （35）式称为
第二闵科夫斯基不等式。
11.3若
![]()
；
![]()
为三个正实数序列，且
![]()
,则:
(36)
当
![]()
时，等号成立。 （36）式称为
第三闵科夫斯基不等式。
十二.牛顿不等式
12.1 若
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为任意实数考虑多项式：
(37)
的系数
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作为
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的函数可表达为：
.......
![]()
.
对每个
![]()
,我们定义
(38)
则（37）式类似于二项式定理，系数为：
![]()
.
12.2 若
![]()
为正实数，则对于每个
![]()
有：
![]()
(39)
当
![]()
时，等号成立。
（39）式称为牛顿不等式。
十三.麦克劳林不等式
13.1 若
![]()
为正实数，按（38）定义，则：
![]()
(40)
当
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时，等号成立。
（40)称为麦克劳林不等式。
未完，见主页文章
.
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