递归解决赶鸭子问题，角骨定理

一.题目分析

用递归方法设计下列各题，并给出每道题目的递归出口（递归结束的条件）和递归表达式。同时考虑题目可否设计为非递归方法，如果可以，设计出非递归的算法。

1.一个人赶着鸭子去每个村庄卖，每经过一个村子卖去所赶鸭子的一半又一只。这样他经过了七个村子后还剩两只鸭子，问他出发时共赶多少只鸭子？经过每个村子卖出多少只鸭子？

2.角谷定理。输入一个自然数，若为偶数，则把它除以2，若为奇数，则把它乘以3加1。经过如此有限次运算后，总可以得到自然数值1。求经过多少次可得到自然数1。

如：输入22，

输出 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1

 STEP=16

 二.算法构造

1.赶鸭子问题。递归公式：由x-(x/2+1)=剩余数 可得x=2*(剩余数)+1 其中x为刚到达这个村子的鸭子数，剩余数为经过这个村子后剩余的鸭子数

P=x/2+1 等于经过这个村子卖出的鸭子数

递归出口：x<=0

递归转化为非递归：采用循环

2.角骨定理。递归公式：n==1   1;(递归出口)

                     n%2==0   n =n/2;

                                     n%2==1   n= n * 3 + 1;

递归：使用while循环

 三.算法实现

程序源代码（请写入必要的注释）。//赶鸭子问题

//赶鸭子问题
#include<stdio.h>
#include<Windows.h>
//递归
void duck1(int r,int n)//r最后一次鸭子的个数 n经过的村子个数
{
	int a = 0;//经过n-1个村子时鸭子的个数
	a = (r + 1) * 2;
	printf("有%d只鸭子\n", a);
	printf("经过第%d个村子，这次卖出去%d只鸭子\n", n, a - r);
	n = n - 1;
	if (n > 0)
		duck1(a, n);	
}

void duck2(int r,int n)
{
	int a = 0;// 经过n - 1个村子时鸭子的个数
	int p = 0;//卖出去的鸭子数
	for (int i = 0; i < 7; i++)
	{
		a = (r + 1) * 2;
		p = a / 2 + 1;
		r = a;//更新剩余的鸭子数
		printf("有%d只鸭子\n", a);
		printf("经过第%d个村子，这次卖出去了%d只鸭子\n",7-i, p);
	}
}
int main()
{
	int num = 7;
	printf("递归：\n");
	duck1(2, num);
	printf("\n非递归：\n");
	duck2(2, num);
	//测试
	int count = 510;
	for (int i = 0; i < 7; i++) {
		count = count / 2 - 1;
	}if (count == 2) {
		printf("测试代码，测试正确，最后剩余%d", count);
	}
	else {
		printf("测试结果失败");
	}
	system("pause");
	return 0;
}

角骨定理

#include<stdio.h>
#include<Windows.h>
#pragma warning(disable:4996)
//递归
int step1(int n,int count)
{
	printf("%d ", n);
	if (n == 1) //递归出口
	{
		printf("递归：需要%d次\n", count);
		return 1;
	}
	else 
	{
		if (n % 2 == 0)//偶数
		{
			n = n / 2;
		}
		else  //奇数
		{
			n = n * 3 + 1;
		}
		count = count + 1;
		step1(n,count);//递归调用
	}
	return 0;
}
//非递归
int step2(int n,int count)
{
	printf("%d ", n);
	count = 1;
	while (n!=1) //while循环，如果不等于1则进行判断
	{
		if (n % 2 == 0)//偶数
		{
			printf("%d ", n / 2);
			n = n / 2;
		}
		else //奇数
		{
			printf("%d ", n * 3 + 1);
			n = n * 3 + 1;	
		}
		count = count + 1;
	}
	printf("非递归：需要%d次\n", count);
	return 0;
}
int main()
{
	int n = 0;
	int count = 1;
	scanf("%d", &n);
	step1(n, count);
	step2(n,count);
	system("pause");
	return 0;
}

 

四.调试、测试及运行结果

1赶鸭子问题

调试①递归 总共有510只鸭子

②非递归

测试

运行结果

2.角骨定理

①递归

②非递归

运行结果

五.经验归纳

       本次上机，对于在递归的练习中，发现在写递归函数时一要找到递归关系，二要找到递归出口，不然很容易出现死循环，在将递归问题转化为非递归问题时，使用循环将其转换，递归就是自己调用自己的过程，刚开始入手总是很难想到递归关系。程序中遇到很多逻辑问题，可以通过调试发现程序出现的问题，从而更快速地发现并解决问题。