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多项式分布的理解概率公式的理解

2023-11-12

多项式分布是二项分布的推广。二项分布（也叫伯努利分布）的典型例子是扔硬币，硬币正面朝上概率为p, 重复扔n次硬币，k次为正面的概率即为一个二项分布概率。而多项分布就像扔骰子，有6个面对应6个不同的点数。二项分布时事件X只有2种取值，而多项分布的X有多种取值，多项分布的概率公式为  


 这个公式看上去像是莫名其妙地冒出来的，想要了解它首先必须要知道组合数学中的多项式定理。

多项式定理：当n是一个正整数时,我们有  


 其中 。

这个多项式定理的推导如下，将式子左边展开


上面的式子是由n个因子相乘得到，而它的展开式可以看做在每个式子里选取某一个xi，总共选取n个xi相乘，所以所有的展开式项都会有


这样的公有项，而且。

这样的话，我们可以把问题看成在n个式子里，先选取r1个x1，然后选取r2个x2，最后选取rk个xk，然后求有多少种方法。类似把n 个球放到k个不同的盒子里的方法有多少种,我们得到 


所以的系数为，这样，我们就能得到展开式的通式。举个例子，当k=2时，我们就得到了常见的二项式公式：


再来看之前的多项分布的概率公式，假设发生的概率为，由于事件之间是相互独立的，可得。

我们将式子的左边看做一次抽样各种事件发生的概率和，那么则是进行了n次抽样所有事件相互组合的对应概率和。把这个多项式展开，它的每一项都对应着一个特殊事件的出现概率。我们把展开式的通项作为X1出现x1次，X2出现x2次，…，Xk出现xk次的这种事件的出现概率，这样就得到了多项分布的概率公式。

转自：http://www.crescentmoon.info/?p=9#more-9


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