传输线理论--学习笔记

2023-11-12

1.1传输线方程及其通解

下图为双导线的集总电路模型:

在一个微分段内( $\bigtriangleup z$ )，双导线可以等效集总电路模型。

$\bigtriangleup z$ 的模型怎么来的？=>双导线的射频效应:

导体损耗(趋肤效应)——单位长度串联电阻R0
介质损耗(两根导线之间有介质，如空气)——单位长度并联电导G0
电感效应——单位长度串联电感L0
电容效应——单位长度并联电容C0

根据基尔霍夫定律，微分段上电压差和电流差满足：

令 $\bigtriangleup z$ ->0 ，则 $\bigtriangleup U$ ->0， $\bigtriangleup I$ ->0,则有传输线方程(电报方程):

在频域,设时间因子为,,代入上式得频域电报方程:

上式中将第一个方程的两侧对z再求偏导数，方程右侧出现 $\frac{\partial I}{\partial z}$ ,将第二个方程带入；第二个方程同样如此(进行去耦合)，得到频域波动方程:

注：观察电报方程，可以看到方程为电压对位置的关系与电流对时间的关系的相互转化，电流对位置的关系与电压与时间的关系的相互转转化，高频时传输线上传递的是波。

解频域波动方程(二阶常微分齐次方程):

带入频域电报方程得:

其中:

传输线的特性阻抗:

传输线的传播常数:

通常设：

$\alpha$ 为衰减常数， $\beta$ 为相移常数。

无耗时, $R_{0}$ ->0, $G_{0}$ ->0,则:

Zc为常数， $\gamma$ 为虚数

对于传输线的解:

下面理解一下物理意义，解中包含 $e^{\gamma z}$ 和 $e^{-\gamma z}$ 。考虑时间因子 $e^{jwt}$ ,解为:

当 $wt-\beta z=$ 常数(此时为等相位面)，即: $wt_{1}-\beta z_{1}=wt_{2}-\beta t_{2}$ ,表示t1时刻z1地点的场在t2时刻z2地点又出现了->波的特性，而且波速可以表示为:

把 $wt-\beta z=$ 常数的两边对t求导，得到:

$v_{p}=\frac{w}{\beta }> 0$

同理， $wt+\beta z=$ 常数时，波速为:

$v_{p}=-\frac{w}{\beta }< 0$

因此，可以得到:

说明 $e^{-j\beta z}$ 表示沿正z方向以 $v_{p}$ 速度传输的波。通常称为入射波或正向波。

$v_{p}$ 反映了波的等相位面传播的速度，所以也称为波的相速度。

同理， $e^{j\beta z}$ 表示沿负z方向以 $v_{p}$ 传播的波。通常称之为反射波或反向波。

结论:

：沿正z向传播但振幅衰减的波。

：沿负z向传播但振幅衰减的波

传输线上的电压是入射波和反射波电压之和:

传输线上的电流是入射波和反射波电流之和：

各参数物理意义:

$Z_{c}$ 的物理意义:

入射波电压与入射波电流之比。(令U0+=0或者U0-=0)

$\alpha$ 的物理意义:波振幅的衰减常数 $e^{-\alpha z}$

$\beta$ 的物理意义:波相移常数 $e^{-j\beta z}$

波长 $\lambda$ 的定义：等相位面在一个周期内沿纵向移动的距离

$z=v_{p}\cdot t=\frac{w}{\beta }\cdot t=\frac{2\pi }{T}\cdot w\cdot T\Rightarrow z=2\pi w$

即: $\lambda =\frac{2\pi }{\beta }$

因此，相移因子可以写为:

称为电长度，称为相移角度

因此，传播特性只与电长度有关

当电长度很短时，即频率很低（波长很长）或线长度很短，线上的波动性很弱。
把电长度长的传输线称为长线,反之为短线。

1.2 无耗传输线的特解

(特解是指在特定边界条件下，传输线上电压电流的解)

对于传输线，通常的边界条件有：终端条件(接负载)、源端条件和电源(接电源)、阻抗条件。

ZL:负载(Load)

Eg:电源(generator)

z:正方向

z'：反方向

l：线的长度

1.终端边界条件

已知:，且为无耗传输线( $\alpha$ =0)

带入通解:

得到:

将上式带入通解中:

坐标变换：和欧拉公式得到:

上式的矩阵形式:

在源端时，z’=l，此时矩阵为:

其中: $\theta =\beta z=\beta l=\frac{2\pi l}{\lambda }$ ,且可以看出，上述源端的电压电流和负载端的电压电流的关系

注:已知源端电压电流，可求出线上任意一点的电压电流

2.源端边界条件

已知:

上式等号两侧的左端乘以矩阵的逆得到:

3.电源、阻抗条件

已知: 注:目的是求出U0+和U0-

由基尔霍夫定律:

由于:

把 z = 0 带入得到:

把 $I_{0}=(U_{0}^{+}-U_{0}^{-})/Z_{C}$ 带入到 $U_{0}^{+}+U_{0}^{-}=E_{g}-I_{0}Z_{g }$ 得到：

两边同除 $1+\frac{Z_{g}}{Z_{c}}$ :

其中，为源端反射系数

同理，考虑终端条件(z=l):

解得:

移项得:

其中，为负载端反射系数

由上述推导，可以解得:

将上式带入

得到特解:

下面讨论反射系数。

线上任一点往负载看去得反射系数定义为:

注:为反射波电压除入射波电压

其中:

为负载端的入射波电压

为负载端的反射波电压

进行坐标变换:

因此:

其中，为负载反射系数

于是，距离负载l 处的反射系数为

,且有:

=>无耗传输线上反射系数的模不变；反射系数的相位是2倍的 $\theta$

注:反射系数为反射波和入射波之比，走的路径为两倍

引入反射系数概念后，电压、电流可表示为:

电压驻波比(voltage standing wave ratio，VSWR):反映负载失配状态的一个量

定义为：

注:为线上电压最大值与电压最小值之比

无反射时，反射系数为0，

全反射时，反射系数为1，

驻波比不可能小于1，

反射系数小于等于1，因为反射波有损耗(无源)

1.3 无耗传输线的阻抗

线上任一点往负载看去的输入阻抗定义为:

则负载阻抗为:

由上式整理得到:

将上式带入到:

得到:

令 :

则:

因此，距离负载l处(z=0，z‘=l)的输入阻抗为:

称为:传输线阻抗公式

tan函数是以 $\pi$ 为周期的周期函数，因此输入阻抗也是以 $\pi$ 为周期

( $\lambda =\frac{2\pi }{\beta }$ )

因此:

=> 半波长阻抗重复性

又因为:

因此:

1/4波长归一化阻抗倒置性

由上式:

(？？？？？？)

1.4 无耗传输线工作状态

1.4.1 行波状态

当 $Z_{L}=Z_{C}$ 时，代入 $\tau _{L}$

得: $\tau _{L}=0$

即匹配时，无反射波(行波状态):

此时电压与电流同相

在时域:

可以得到以下结论:

-> 电压电流振幅沿传输线不变

->相位随线长增加而连续滞后

$Z_{in}=Z_{c}\frac{1+\tau _{}}{1-\tau _{}}=Z_{c}=Z_{L}$ ->阻抗沿线不变，等于特性阻抗

注:行波状态即传输线匹配状态，无反射，是传输系统追求的理想状态。

行波状态如下图:

1.4.2 驻波状态(全反射)

一、短路线

负载端短路， $Z_{L}=0$ 代入 $\tau _{L}$ ：

得到: $\tau _{L}=-1$

此时为全反射状态。

对于通解，全反射时 $U_{0}^{-}=-U_{0}^{+}$

因此:

此时，不是波，U和I与距离无关

在时域:

由:得到：

由，:

看上图，可以得到:

(a)电压电流随时间变化时具有固定的波腹、波节点；波腹波节交替出现，相差 $\pi /2$

(b)电压与电流相位差90度

(d)(e)：

①短路线的输入阻抗为纯电抗：

当 $l<\frac{\lambda }{4}$ 时，呈现感性电抗

当 $\frac{\lambda }{4}<l<\frac{\lambda }{2}$ 时，呈现容性电抗

可以使用传输线这种特性来设计射频电路的电抗元件。

②特定长度的短路线会呈现谐振特性:

在当 $l=\frac{\lambda }{4}$ 时， $Z_{in}=\infty$ ，呈现并联谐振

在当 $l=\frac{\lambda }{2}$ 时， $Z_{in}=0$ ，呈现串联谐振

这种特性使得1/4波长或半波长短路线在射频电路中可以用作谐振器。

二、开路线

负载端短路， $Z_{L}=\infty$ 代入 $\tau _{L}$ ：

得到: $\tau _{L}=1$

此时为全反射状态。

对于通解，全反射时 $U_{0}^{-}=U_{0}^{+}$

因此:

注:根据阻抗的 $\lambda /4$ 倒置性，开路可看作一段 $\lambda /4$ 长的短路线，所以将短路线的驻波曲线沿传输线移动 $\lambda /4$ 的距离便可得到开路线的驻波曲线。具体情况如下图直观表示:

三、电抗负载

对于纯电抗负载，可得到:

，为全反射状态

同样可以把等效为一段长为的短路线，

所以，将短路线的驻波曲线沿传输线移动距离便可以得到端接电抗时驻波曲线。

1.4.3 行驻波状态(部分反射)

当传输线端接任意阻抗时，

上式中前一部分为行波分量，后一部分为驻波分量。此时称为行驻波状态。

电压、电流振幅分布:

当，即:

此处为电压振幅的最大值(波腹)

为电流振幅最小值(波节)

当，即

此处为电压振幅的最小值(波节)

为电流振幅最大值(波腹)

下图为电压电流幅值示意图:

结论:

行驻波状态时电压、电流及阻抗的变化特点与驻波状态时类似。实际上，驻波状态是行驻波状态在的极限状态。

当（纯电阻负载）时，负载端为电压波节点。（极限情况为短路）
当（纯电阻负载）时，负载端为电压波腹点。（极限情况为开路）
当负载为感性阻抗时，离开负载第一个出现的是电压波腹点、电流波节点。
当负载为容性阻抗时，离开负载第一个出现的是电压波节点、电流波腹点。

在行驻波电压波腹点（也是电流波节点）有：(最大电压除以最小电流)

可以看出:在波腹点，阻抗为实数，且与特性阻抗成正比，比例系数为驻波比。

同理，在电压波节点（电流波腹点）有：

在波节点，阻抗为实数，且与特性阻抗成正比，比例系数为驻波比的倒数。

1.5 无耗传输线的功率

无耗传输线上的输入功率为:

注意:

无耗传输线上任一点的输入功率相同
输入功率等于入射波与反射波功率之差：

上述两点反映了能量守恒。

当时，，线上没有反射波，称为匹配。
匹配时，负载吸收全部入射波功率。
匹配时，
当时，，全反射。
当负载失配时，由于反射波带走功率，负载不能完全吸收入射波功率，形成回波损耗 (Return Loss)，定义为
全匹配时，
全反射时，

由于不考虑损耗，无耗传输线上任一点的传输功率相同，可以取线上任意一点的电压和电流计算功率，不过最简单的是在电压腹点或节点处计算，因为该处的阻抗为纯电阻，电压、电流同相。

取电压波腹点，则

取电流波腹点，则

可见，在传输线耐压或所能承载的电流一定的条件下，驻波比越小，传输功率越大，因此，为了求得最大功率容量，传输线系统也总是希望工作在行波状态（ ρ=1）。

下面讨论往源端看去的特性:

源端电压:

向源端看去的反射系数:

于是:

源端输入功率:

上式为传输线功率方程。

当负载与源均匹配时（完全匹配），

则有:

，为源最大有用功率，负载也将吸收到最大功率

当负载匹配时， $\tau _{L}=0,\tau _{in}=0$ ,源失配时，则有:

这说明在源端有部分功率反射，只有有用功率的一部分送到传输线中。

下面讨论源最大功率输出的条件:

考虑:

为了获得最大功率，令

得到:

于是:j即:，称为共轭匹配

这时源有最大功率输出

1.6 有耗传输线

有耗传输线的解:

其中:，与频率有关的函数。

越靠近源端，反射越小，所以足够长、损耗足够大的传输线对任何负载匹配。

相速为频率的函数，有耗传输线具有色散特性(即传播速度与频率有关)。

当有小损耗时，，则:

所以:，

其中，分别表示导体损耗和介质损耗引起的衰减常数。
可见，小损耗时，特性阻抗和相移常数可以用无耗时的值近似。

衰减常数为导体衰减常数与介质衰减常数之和。

下面讨论传输线效率:

由于传输线总存在一定的损耗，或者负载与传输线间未达到完全匹配，所以电源的功率不可能全部为负载所吸收，这就有传输效率的问题。

传输线效率定义: 负载吸收的功率与传输线上的输入功率之比，以η表示，即

输入功率:

负载吸收的功率为:

则:

可见，当反射系数 $\tau _{L}$ 增加时， $\eta$ 减低；

当 $\tau _{L}=0$ ，得:

在有耗传输线上，驻波比 $\rho$ 不是常数。假如 $\rho$ 的变化不大，则仍可设

得:

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