粒子群算法(Particle Swarm Optimization)是由鸟群捕食得到启发的一种算法，在鸟类觅食过程中，每只鸟都会利用自身经验和群体信息来寻找食物。在觅食过程中，每只鸟仅仅追踪有限数量的邻居，但是最终整个鸟群好像在某个中心的控制下飞行。这一现象说明复杂的全局行为可以由简单规则的相互作用形成，其表现取决于群体搜索策略和群体之间的信息交换。
根据上面现象进行抽象，PSO算法是一种在$n$维搜索空间中(搜索空间可能是解空间，也可能是问题空间，取决于如何对需要求解的问题进行编码)，用由$m$个粒子组成的种群通过一定的搜索策略进行位置更新，从而寻找搜索空间中适应度最佳值的算法。
在这个过程中，每个粒子的位置代表优化问题的一个解(大多数情况下是可行解)。适应度函数是和优化问题的目标函数直接相关的，它通常是针对具体问题进行具体设计，从而帮助算法收敛到最优解。
我们将上面所述的种群记做
粒子的位置和速度以迭代的方式进行如下更新：
其中各参数说明如下：
需要注意的是速度更新的每一步中，对
上面的更新方程体现了粒子群算法的一些基本性质：
标准的粒子群算法存在的主要问题(大部分也是群体进化计算的共性问题)为：
对于粒子群算法来说，收敛速度主要由粒子的飞行速度决定，而飞行速度由
对于
线性权值递减的权值更新策略如下：
其中，
对于加速度常数
对于随机优化算法的性能来说，族群的多样性是非常重要的：
对于族群多样性的改进一般有两种方法：改进拓扑结构（也就是粒子之间相互连接的方式）和设计保持种群多样化策略。
拓扑结构的改进
粒子群算法在邻域中共享信息，而邻域是由拓扑结构定义的，因此不同的拓扑结构决定了信息在粒子之间传递的速度。下图展示了一些常见的邻域拓扑结构：
当邻域结构是全连接(Fully connected)时，对于任意粒子来说，整个种群都是它的邻居，这种情况下的PSO也叫做全局版本；当邻域结构是其他拓扑结构时，对于一个粒子，只有在拓扑结构上与其直接相连的粒子才是它的邻居，这种情况下的PSO也叫做局部版本。
除了固定的拓扑结构以外，也有学者提出用动态拓扑结构来改变种群中信息的流动速度；还可以引入聚类的思想，用聚类后的簇中心粒子位置来替代粒子自身最优解位置，用全局的簇中心位置来替代全局最优解位置。
种群多样化策略
在粒子群算法中，随着迭代的进行，种群逐渐收敛到一点，也就丧失了进化的动力，如果收敛时机过早，就会影响到找到的解的质量。为了保持种群的多样性，研究者设计了一系列的策略，下面列出几个比较有名的：
单一算法的搜索策略和脱离局部最优的能力是有限的，因此智能算法常常会选择融合其他算法的机制来增加寻优能力。
微分进化思想、遗传算法、多种群协作和竞争思想、混沌搜索、免疫算法和模拟退火等等算法和思想都可以融合进PSO中。
标准PSO的流程可以用下面的流程图表示：
在求解VRP类问题，或者扩大到离散优化和组合优化问题时，我们首先需要注意PSO的编码问题。
原始的PSO采用实数编码，对于速度计算、位置更新等非常方便而自然，但是对于离散优化和组合优化问题，有时实数编码难以直接应用，这就需要应用二进制编码(Binary encoding)或者排列编码(Permutation encoding)，对于非实数编码，需要重新定义距离、速度、位置的含义和相应操作。
回顾基本的粒子群算法，在整个搜索过程中，我们涉及的抽象操作有以下几种：
此外还有粒子的评价，但是由于评价涉及到粒子的解码，是具体问题具体设计的，并不具有通用性，因此无法进行抽象层面的定义。
对于有
例如对一个包含5个顾客的问题来说，一个可能的粒子位置为
这里参考Clerc在用PSO求解TSP问题中定义的操作：
粒子速度的定义
对于排列编码，其搜索空间为所有可能的排列。为了进行不同排列的探索，速度定义为对排列的一系列交换。
设
一个空的速度定义为
定义
粒子的位置更新
明确了位置和速度的含义之后，就可以很容易的对粒子的位置进行更新了。
假设在某个时刻，一个长度为5的粒子的位置为
需要注意的是，对于
粒子的速度计算
粒子的速度通过两个位置的差得到，也就是说从两个位置
一个可行的算法是“换位减”，对于有
1. 初始化i=0，v为空集
2. 如果i=N，跳转到步骤4，否则进入步骤3
3. 比较X1和X2，如果在第i个位置上 X1[i] = X2[i]，设定i=i+1，跳转到步骤2；如果 X1[i] != X2[i]，则交换X2中的元素X1[i]和X2[i]，设定i=i+1，将(X1[i],X2[i])加入v，转入步骤2
4. 算法结束，输出速度下图给出了一个计算过程的示例：
最终我们得到速度
速度的标量积
速度
这样就完整定义了速度的数乘。
速度和
两个速度的和定义为两个速度中交换操作的有顺序的并集。例如
这里需要注意的是
对于优化算法来说，时间复杂度是一个重要的问题。如果时间复杂度过高，算法的可扩展性就较差，对于大规模问题很可能不能适用。
假设PSO算法的种群规模为
对于单个粒子，各个操作的复杂度如下：
因此对于单个粒子来说，一次迭代的时间复杂度和问题规模成正比，为
可以得到整体算法的复杂度为
本文采用的CVRP算例来自Augerat et al. 的数据集，可以到这里下载。
下面就数据结构进行说明，任意一个数据文件，例如A-n32-k5，都分为下面几个部分:
数据信息
这部分形如：
NAME : A-n32-k5
COMMENT : (Augerat et al, Min no of trucks: 5, Optimal value: 784)
TYPE : CVRP
DIMENSION : 32
EDGE_WEIGHT_TYPE : EUC_2D
CAPACITY : 100给出了数据集的基本信息：
节点坐标
NODE_COORD_SECTION
1 82 76
2 96 44
3 50 5
4 49 8
...给出了节点的编号和X，Y坐标。根据这个信息我们就可以计算两个节点之间的二维欧几里得距离了。
节点需求
DEMAND_SECTION
1 0
2 19
3 21
4 6
5 19
6 7
...给出了各个节点的需求量。
车库
DEPOT_SECTION
1
-1表明这个问题中只有一个车库，也就是节点1。要求每条路径从车库出发，到车库结束。
在这里我们用代码实现一个标准的整数编码PSO，在前面提到的数据集里选择几个进行测试，了解不额外增加局部搜索和脱出局部最优机制的情况下，整数编码PSO的性能表现。
代码作为演示之用，没有经过性能优化，只能作为一个参考。
对于速度，按照之前所列，我们需要实现标量乘、取反和加法操作，这些可以通过运算符重载做到。
# --------------------------------
# 速度类
# --------------------------------
class Velocity(object):
"""
整数编码下PSO的速度形如[(1,3), (2,5)]，其含义为先对1, 3节点进行交换，然后对2, 5节点进行交换
"""
def __init__(self, exchange_list=None):
if exchange_list is None:
self._vel = list() # 私有变量，保存交换对
else:
self._vel = exchange_list
def __mul__(self, c: float):
"""
重载乘法，允许浮点数 c 和速度 v 相乘
浮点数c有下面四种情况：
1. c < 0， 此时对常数取负，得到一个正数，同时对速度也取负，转化为正数和速度的乘法
2. c = 0，此时得到 cv = empty set
3. c in (0,1]，此时从v中提取前 int(c * len(v)) 个分量
4. c > 1，此时可以拆分为一个大于1的数
:param c: float，一个浮点数
:return: 处理之后的速度
"""
# 数据类型检查
try:
c = float(c)
except:
raise ValueError('Velocity can only be multiplied with a float, not {}'.format(type(c)))
# 进行乘法
if c < 0.0: #
return -c * (-Velocity(self._vel))
elif c == 0.0: # 返回空速度
return Velocity()
elif 0 < c <= 1: # 从前向后取v中的部分分量
vel_len = len(self._vel)
cnt = int(c * vel_len)
return Velocity([self._vel[i] for i in range(cnt)])
else: # c > 1的情况，分成整数和小数部分进行处理
int_part = int(c) # 整数部分
dec_part = c - int_part # 小数部分
return Velocity(int_part * self._vel) + dec_part * Velocity(self._vel)
def __rmul__(self, c: float):
return Velocity(self._vel) * c
def __neg__(self):
"""
重载取反操作
对于Velocity([x,y],[y,z],...)来说， -Velocity = ([y,x],[z,y],...)
:return:
"""
return Velocity([[elem[1], elem[0]] for elem in self._vel])
def __add__(self, other):
"""
重载速度加法
对于两个速度 vel1 = [[x,y], [y,z], [z,t]]和 vel2 = [[z, x]]
vel1 + vel2 = [[x,y], [y,z], [z,t], [z,x]]
:param other:
:return:
"""
return Velocity(self._vel + other.exchange_list)
def __repr__(self):
return "Velocity({})".format(str(self._vel))
@property
def exchange_list(self):
"""
Getter函数，取出交换对
:return:
"""
return self._vel对于位置类，我们需要实现换位减以及和速度相加：
# --------------------------------
# 位置类
# --------------------------------
class Position(object):
"""
整数编码下的位置类形如[3,2,6,4,5]，它是 *所有节点* 的一个permutation
"""
def __init__(self, seq=None):
if seq is None:
self._seq = list() # 保存一个permutation，代表路径上访问节点的次序
else:
self._seq = seq
def __sub__(self, other):
"""
两个Position实例进行 *换位减* ，得到一个Velocity实例
:param other: Position实例
:return: Velocity实例
"""
exchange_list = list()
if len(self._seq) != len(other.visit_sequence):
raise Exception("Cant perform calculation for Positions with different sequence length")
pos2_seq = list(other.visit_sequence)
for i in range(len(self._seq)):
elem_seq1 = self._seq[i]
elem_seq2 = pos2_seq[i]
if elem_seq1 != elem_seq2: # 如果两个position对应位置上的元素不相等
# 找到pos2_seq中这两个元素对应的index
idx1, idx2 = pos2_seq.index(elem_seq1), pos2_seq.index(elem_seq2)
# 交换两个元素并将该操作加入velocity
pos2_seq[idx1], pos2_seq[idx2] = pos2_seq[idx2], pos2_seq[idx1]
exchange_list.append([elem_seq1, elem_seq2])
return Velocity(exchange_list)
def __add__(self, other):
"""
Position + Velocity = Position
也即是在permutation上应用Velocity所表示的变换
例如Position = [1, 3, 2, 4, 5]， Velocity = [[1,3], [2,5], [3,4]]
Position + Velocity = [4, 1, 5, 3, 2]
:param other:
:return: 一个Position实例
"""
seq_new = list(self._seq)
for elem in other.exchange_list:
idx0, idx1 = seq_new.index(elem[0]), seq_new.index(elem[1])
seq_new[idx0], seq_new[idx1] = seq_new[idx1], seq_new[idx0]
return Position(seq_new)
def __repr__(self):
return "Position({})".format(str(self._seq))
@property
def visit_sequence(self):
return self._seq最终粒子类除了包含一个速度实例和一个位置实例以外，还需要保存个体最佳位置和邻域最佳位置：
# --------------------------------
# 粒子类
# --------------------------------
class Particle(object):
def __init__(self, position=None, velocity=None):
if position is None:
self.pos = Position()
else:
self.pos = position # 当前位置，一个Position实例
if velocity is None:
self.vel = Velocity()
else:
self.vel = velocity # 当前速度，一个Velocity实例
self.fitness = 0.0 # 当前位置对应的适应度
self.pbest_pos = None # 个体历史最佳位置，Position实例
self.pbest_fitness = float('Inf') # 个体历史最佳适应度
self.gbest_pos = None # 邻域最佳位置，Position实例
self.gbest_fitness = float('Inf') # 邻域最佳适应度
self._dimension = utilities.problem_dimension # 问题维度
def __repr__(self):
return "Particle:ntPosition:({})ntVelocity({})ntFitness: {}".format(str(self.pos.visit_sequence),
str(self.vel.exchange_list),
self.fitness)
def initialize_pos(self) -> None:
"""
初始化粒子位置
:return:
"""
perm = [i for i in range(2, self._dimension + 1)]
random.shuffle(perm)
self.pos = Position(perm)
def __update_velocity(self, omega: float, c1: float, c2: float) -> None:
"""
根据gbest_pos和pbest_pos更新速度
:return:
"""
inertia = omega * (self.pbest_pos - self.pos)
individual_experience = (c1 * random.random()) * (self.pbest_pos - self.pos)
social_experience = (c2 * random.random()) * (self.gbest_pos - self.pos)
self.vel = inertia + individual_experience + social_experience
def update_pos(self, omega: float, c1: float, c2: float):
"""
根据速度更新粒子的位置
:param omega:
:param c1:
:param c2:
:return:
"""
self.__update_velocity(omega, c1, c2)
self.pos = self.pos + self.vel作为简单测试，并没有对超参数进行特别调优，按照经验选取超参数如下：
测试结果
这里我选择了4个不同点数的问题进行测试，对每个数据集，运行5次算法，下表中列出了最佳值和平均值，计算gap时使用的是5次平均结果：
在所有的计算中，算法都已经达到了收敛，对于A-32-k5数据集的一次计算中的迭代过程如下：
对应的路径图如下：
可以看到，即使对于这样一个节点数比较少的问题，从图像上看得到的路径也和最有路径相去甚远，可以看到不少的路径交叉出现，这也是因为我们没有在算法中加入opt这样的local search机制。
[3,2,1,4]和[4,1,2,3]，虽然在定义上是两个不同的位置，但是实际上代表的路径的总距离是相同的(symmetric edge的情况下)；这可能会让解在两个局部最优之间摆动，尽管这两个局部最优实际上是同一回事