插值算法的介绍
- 插值的作用：当现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行时，用于**“模拟产生”**一些新的但又比较靠谱的值来满足需求。
- 插值函数、插值、插值法的概念：
- 插值法的分类：
- 插值多项式：P(x)为次数不超过n的代数多项式，即
- 分段插值：P(x)为分段多项式
- 三角插值：P(x)为三角多项式
- 三角插值一般要用到傅里叶变换等复杂数学工具，不作介绍 。
插值多项式
一般插值多项式原理
- 【注1】只要n+1个节点互异，满足上述插值条件的多项式是唯一存在的。⇒ 次数n若限定，差值多项式才是唯一。
- 【注2】如果不限制多项式的次数，插值多项式并不唯一。
拉格朗日插值法
- 一种多项式插值方法，作为了解即可，因为其存在问题较大（龙格现象），解题中并不使用。
牛顿插值法
- 仅作了解
拉格朗日插值和牛顿插值的对比
- 与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法的计算过程具有继承性。
- （牛顿插值法每次插值只和前n项的值有关，如此每次只要在原来的函数上添加新的项，就能够产生新的函数）
- 两者共有的缺陷
- ① 都未能解决龙格现象
- ② 仅要求插值多项式在插值节点处与被插函数有相等的函数值 ⇒ 不能全面反映被插值函数的性态
- 实际问题中，不仅要求插值函数与被插值函数在所有节点处有相同的函数值，也需要在一个或全部节点上插值多项式与被插函数有相同的低阶甚至高阶的导数值。
- 相同导数值的意义：保持插值曲线在节点处有切线（光滑），使插值函数和被插函数的密和程度更好。
埃尔米特(Hermite)插值
- 满足以下俩点要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式
- ①在节点上的函数值相等；
- ②要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等
- 直接使用Hermite插值得到的多项式次数较高，也存在着龙格现象 ⇒ 因此在实际应用中，往往使用分段三次 Hermite 插值多项式 (PCHIP)。
高次多项式插值的缺陷：龙格现象
- 高次插值会产生龙格现象，即在两端处波动极大,产生明显的震荡。
- 总结插值多项式问题：
- ① 插值多项式次数高精度未必显著提高
- ②插值多项式次数越高摄入误差可能显著增大
- 故：在不熟悉曲线运动趋势的前提下，不要轻易使用高次插值。⇒ 选用分段插值
分段线性插值
-
分段低次插值：选相邻两个点，用线段相连而成。
- 错误率较高 ⇒ 故会进而采用分段二次插值
-
分段二次插值（分段抛物插值）
- 二次插值在几何上就是用分段抛物线代替直线y=f(x)，故分段二次插值又称为分段抛物插值。
建模中两种常用的插值
- 以下两种均可使用，取决个人喜好。
- 介绍说辞：分段三次埃尔米特插值/三次样条插值 可很好地保持数据光滑性和连续性，减少信息量的损失。
分段三次埃尔米特插值(PCHIP)
- Matlab有内置的函数：
p = pchip(x,y, new_x)
- x是已知的样本点的横坐标;
- y是已知的样本点的纵坐标;
- new_x是要插入处对应的横坐标
- 举例：
- 线方式： ‘‐’ 实线； ':'点线； ‘‐.’ 虚点线； ‘‐ ‐’ 波折线
- 点方式： ‘.’ 圆点； '+'加号； ‘*’ 星号； ‘x’ x形； ‘o’ 小圆
- 颜色： y黄； r红； g绿； b蓝； w白； k黑； m紫； c青
x = ‐pi:pi; y = sin(x);
new_x = ‐pi:0.1:pi;
p = pchip(x,y,new_x);
plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r‐')
% plot函数用法:
plot(x1,y1,x2,y2)
三次样条插值
- 定义：
- 构造方法：
-
三次样条插值的使用
- Matlab内置函数：p = spline (x,y, new_x)
- x是已知的样本点的横坐标;
- y是已知的样本点的纵坐标;
- new_x是要插入处对应的横坐标
- 举例：
- 说明：legend(string1,string2,string3, …)分别将字符串1、字符串2、字符串3…标注到图中，每个字符串对应的图标为画图时的图标。
- ‘Location’用来指定标注显示的位置
- 下列函数的效果图：
x = ‐pi:pi;
y = sin(x);
new_x = ‐pi:0.1:pi;
p1 = pchip(x,y,new_x); %分段三次埃尔米特插值
p2 = spline(x,y,new_x); %三次样条插值
figure(1);%用于命名每个图，防止画下一个图的时候把该图覆盖
plot(x,y,'o',new_x,p1,'r‐',new_x,p2,'b‐')
legend('样本点','三次埃尔米特插值','三次样条插值',‘Location’,‘SouthEast’) %标注显示在东南方向
处理n维数据的插值（仅了解）
- 了解即可，n维数据的插值题很少见
- 函数：
p = interpn(x1,x2,...,xn, y, new_x1,new_x2,...,new_xn, method)
- x1,x2,…,xn是已知的样本点的横坐标
- y是已知的样本点的纵坐标坐标
- new_x1,new_x2,…,new_xn是要插入点的横坐标
- method是要插值的方法，有：
- ‘linear’：线性插值（默认算法）；
- ‘cubic’：三次插值；
- ‘spline’：三次样条插值法；(最为精准)
- ‘nearest’：最邻近插值算法。
x = ‐pi:pi; y = sin(x);
new_x = ‐pi:0.1:pi;
p = spline(x, y, new_x); %等价于 p = interpn (x, y, new_x, ’spline’);
plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r‐')
小技巧
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