MATLAB实现满秩LU/QR等分解 及求方程组的解 范数

矩阵分解 

%矩阵的LR分解 方阵A是非奇异的
clear;
A = [2,1,4;4,3,13;2,2,20];
format rat
[L,U]=lu(A)

% [L,U,P]=lu(A)
%%
%矩阵QR分解 [Q,R]=qr(A） R为上三角矩阵
clear;clc
A=[0 4 1;1 1 1;0 1 2];
[Q,R,e]=qr(A);

%%
%矩阵的奇异值分解
clear,clc
A = [1,1;0,0;1,1];
[U,S,V] = svd(A) %返回一个与A同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U和V，且满足A= U*S*V~H。
                 %若A为m×n阵，则U为m×m阵，V为n×n阵。奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列。
%%
%求解方程组的解
A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 0];
b=[2 10 8]';
format rat %指定有理式格式输出
%LU分解
[L,U]=lu(A)
x=U\(L\b)
%QR分解
[Q,R]=qr(A);
x=R\(Q\b)

满秩分解：
close all;clear all;clc 
    A = [1 1 2 4
    -1 -1 -1 -2
   3 3 2 4];

[R,jb]=rref(A);%将矩阵化为最简阶梯形矩阵
B=A(:,jb);
C=R(1:length(jb),:);%%满秩分解  B*C

%提取矩阵对角元素
A = [2,1,4;4,3,13;2,2,20];
D=diag(A)
D1=diag(A,1)%与对角线元素平行往上
D2=diag(A,-1)%与对角线元素平行往下

A =

       2              1              4       
       4              3             13       
       2              2             20       
D =

       2       
       3       
      20       
D1 =

       1       
      13       
D2 =

       4       
       2       

向量范数与矩阵范数  

%向量范数
v=[-1,1/2,1];
v1=norm(v,1)%求v的1范数
v2=norm(v,2)%求v的2范数，也可以写为v2=norm(v)
v3=norm(v,inf)%求v的无穷范数

v1 = 5/2     
v2=3/2     
v3 = 1     

%向量范数
A=[1 2,3+2i 1,0 3];
A1=norm(A,1)%求A的1范数
A2=norm(A,2)%求A的2范数，也可以写为A2=norm(A)
A3=norm(A,inf)%求A的无穷范数

https://wenku.baidu.com/view/ff75b31f4935eefdc8d376eeaeaad1f34693118f.html?fr=search-1-income8

求线性方程组的解

A=[1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3];
format rat%指定有理式格式输出
B=null(A,'r')%求解空间的有理基
% B=rref(A)%通过行最简得到基
%写出通解
syms k1 k2
X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)
pretty(X)%简化形式