Softmax分类器及交叉熵损失（通俗易懂）

2023-11-15

在说分类器前我们先了解一下线性分类

线性函数y = kx + b ，在对于多种类别、多个特征时可将W看做一个矩阵，纵向表示类别，横向表示特征值，现在有3个类别，每个类别只有2个特征

线性分类函数可定义为：

$f(x i, W, b)=W x_{i}+b$

我们的目标就是通过训练集数据学习参数W，b。一旦学习完成就可以丢弃训练集，只保留学习到的参数。

1. 损失函数

损失函数是用来告诉我们当前分类器性能好坏的评价函数，是用于指导分类器权重调整的指导性函数，通过该函数可以知道该如何改进权重系数。通俗都来说一组参数（W,b）对应一个损失L，一般的损失越小模型越好，我们目标是通过各种优化，使损失达到最优值（不一定最小是最优的）。

常见的损失函数：

对数似然损失

$\small L(y, \hat y)=-y\log\hat y-(1-y)\log(1-\hat y)$

百页损失

$\small L_i = \sum_{j\neq y_i} \max(0, s_j - s_{y_i} + \Delta)$

现在通过百叶损失对前面线性分类求损失：

$L_{i}=\sum \max \left(0, s_{j}-s_{y i}+\Delta\right)=\max (0,0.67-0.77+1)+\max (0,2.3-0.67+1) =\max (0,0.9)+\max (0,1.97)=2.87$

2. Softmax分类器与交叉熵损失（cross-entropy）

Softmax

函数定义

$\small y=\frac{e^{f_{i}}}{\sum_{j} e^{f j}}$

简单的说,softmax函数会将输出结果缩小到0到1的一个值，并且所有值相加为1

使用softmax函数对前面线性分类求得分

类别1 ： $y_{0}=\frac{e^{0.77}}{e^{0.77}+ e^{0.67}+e^{0.23}} = 0.21$

类别2 ： $y_{0}=\frac{e^{0.67}}{e^{0.77}+ e^{0.67}+e^{0.23}}=0.18$

类别3 ： $y_{0}=\frac{e^{2.3}}{e^{0.77}+ e^{0.67}+e^{2.3}}=0.61$

交叉熵损失（cross-entropy）

交叉熵损失衡量分类模型的性能，其输出是介于 0 和 1 之间的概率值。交叉熵损失随着预测概率与实际标签的偏离而增加。因此，当实际观察标签为 1 时预测 0.012 的概率模型不好，并导致高损失值。完美模型的对数损失为 0。cross-entropy一般再softmax函数求得结果后再用，

函数定义：

$L_{\mathrm{CE}}=-\sum_{i=1}^{n} t_{i} \log \left(p_{i}\right)$

$t_{i}$ 是真实值， $p_{i}$ 是softmax函数求得的结果。

因为真实值只有属于这个类别或者不属于这个类别，1代表是这个类别，如图所示表示改输入是类别3，

cross-entropy计算

$\begin{aligned} L_{C E} &=-\sum_{i=1} t_{i} \log \left(p_{i}\right) \\ &=-\left[0 \log _{2}(0.21)+0 \log _{2}(0.18)+1 \log _{2}(0.61)\right] \\ &=-\log _{2}(0.61) \\ &=0.71 \end{aligned}$

为什么要加负号？

log函数图像：

因为softmax求出结果再（0,1）之间，所以cross-entropy结果为负值，加负号使得损失为正。

假如现在通过优化使得softmax 后结果为0.10、0.08、0.82，再计算cross-entropy结果对比一下

$\begin{aligned} L_{C E2} &=-\sum_{i=1} t_{i} \log \left(p_{i}\right) \\ &=-\left[0 \log _{2}(0.10)+0 \log _{2}(0.08)+1 \log _{2}(0.82)\right] \\ &=-\log _{2}(0.82) \\ &=0.28 \end{aligned}$

0.28小于之前的损失0.71，暗示模型正在学习。优化过程（调整权重以使输出接近真实值）一直持续到训练结束。

参考 https://towardsdatascience.com/cross-entropy-loss-function-f38c4ec8643e

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