float的精度和取值范围

前言

关于float的精度和取值范围这个问题，我查询了很多次，每次都是用完就忘了，等到再使用的时候还需要再次查询，关键是这个问题大家给出的结果并不都是一致的，我得从众多的资料当中选择出正确的观点，这还要额外花一些时间，所以我决定也总结一次，方便我以后拿来直接用了，如果能给大家带来帮助那就更好了。下面提到一些说法很多都是我个人的理解，如果大家有疑义，欢迎讨论。

精度限制

首先考虑下为什么会产生精度问题，是因为存储数据的空间有限，以一个四字节整数int n;为例，一共有32位，取值范围是 [-2147483648‬, 2147483647] ，一共是4,294,967,296种可能，它的精度可以说是小数点后一位都不保留，也就是只有整数，换句话说变量n可以表示实数范围内的4,294,967,296个数值。

如果换成float类型呢？一个变量float f所能表示多少个数呢？实际上由于存储空间未发生变化，同样是4字节32位，那么float类型也只能表示，或者说精确表示4,294,967,296个数值（真实情况由于一些特殊的规则，最终所表示的数字个数还要少），说到这里很多人可能会疑惑，因为他知道float可以表示比4,294,967,296大的数，同时也能表示小数，如果只有4,294,967,296种可能，那究竟是怎么做到的呢？

这里也就开始提到精度了，整数很好理解，每个数字的间隔都是1，int类型所表示的4,294,967,296个数字都是等间距的，步长为1。而float也只能表示4,294,967,296个数字，同时要表示比int还大的范围，一个很直观的想法就是把间距拉大，这样范围就大了，但是float还要表示小数，像0.2、0.4这样的数字间距明显要小于1啊，想要存储小数貌似要把间距缩小，这就和前面矛盾了啊。

实际上float类型存储数据的间隔不是等间距的，而是在0的附近间距小，在远离0的位置间距大，为什么会这样，一会我们看一下float类型数据的存储规则就明白了，这里先来看一下int类型和float类型所表示数字的范围对比，这只是一个示意图。

//int
           [ *         *         *         0         *         *         * ]
//float
[ *          *    *    *   *  *  * * * * * 0 * * * * *  *  *   *    *    *          * ]

上面的示意图就是两者表示数字范围的差异，每个星号*就表示一个数字，float通过这种不等间距的分布，既扩大了范围也表示了小数，那么有没有问题呢？

当然有问题，饭就这么多，人多了自然不够吃了，因为远离0的位置间距越来越大，当要表示间距中间的一个数字时，只能找它附近离它最近的一个可以表示的数字来代替，这就导致了精度问题，比如我给一个float类型变量分别赋值为 4294967244 和 4294967295 ，再次输出时都变成了 4294967296，因为超过了精度，所以只能找最接近的数字代替。

float存储方式

这部分内容基本上各篇文章说的都一致，我也简单描述下，后面根据这部分的定义来推算一下float的精度和取值范围。

首先我们知道常用科学计数法是将所有的数字转换成(±)a.b x 1 0 c 10^c 10c 的形式，其中a的范围是1到9共9个整数，b是小数点后的所有数字，c是10的指数。而计算机中存储的都是二进制数据，所以float存储的数字都要先转化成(±)a.b x 2 c 2^c 2c，由于二进制中最大的数字就是1，所以表示法可以写成(±)1.b x 2 c 2^c 2c的形式，float要想存储小数就只需要存储(±)，b和c就可以了。

float的存储正是将4字节32位划分为了3部分来分别存储正负号，小数部分和指数部分的：

1. Sign（1位）：用来表示浮点数是正数还是负数，0表示正数，1表示负数。
2. Exponent（8位）：指数部分。即上文提到数字c，但是这里不是直接存储c，为了同时表示正负指数以及他们的大小顺序，这里实际存储的是c+127。
3. Mantissa（23位）：尾数部分。也就是上文中提到的数字b。

三部分在内存中的分布如下，用首字母代替类型

float存储示例

以数字6.5为例，看一下这个数字是怎么存储在float变量中的：

1. 先来看整数部分，模2求余可以得到二进制表示为110。

2. 再来看小数部分，乘2取整可以得到二进制表示为.1（如果你不知道怎样求小数的二进制，请主动搜索一下）。

3. 拼接在一起得到110.1然后写成类似于科学计数法的样子，得到1.101 x 2 2 2^2 22。

4. 从上面的公式中可以知道符号为正，尾数是101，指数是2。

5. 符号为正，那么第一位填0，指数是2，加上偏移量127等于129，二进制表示为10000001，填到2-9位，剩下的尾数101填到尾数位上即可

6. 内存中二进制数01000000 11010000 00000000 00000000表示的就是浮点数6.5

float范围

明白了上面的原理就可求float类型的范围了，找到所能表示的最大值，然后将符号为置为1变成负数就是最小值，要想表示的值最大肯定是尾数最大并且指数最大，
那么可以得到尾数为 0.1111111 11111111 11111111，指数为 11111111，但是指数全为1时有其特殊用途，所以指数最大为 11111110，指数减去127得到127，所以最大的数字就是1.1111111 1111111 11111111 x 2 127 2^{127} 2127，这个值为 340282346638528859811704183484516925440，通常表示成 3.4028235E38，那么float的范围就出来了：

[-3.4028235E38, 3.4028235E38]

float精度

float 类型的数据精度取决于尾数，相信大家都知道这一点，但是精度怎么算我也是迷糊了好久，最近在不断尝试的过程中渐渐的明白了，首先是在不考虑指数的情况下23位尾数能表示的范围是[0, 2 23 − 1 2^{23}-1 223−1]，实际上尾数位前面还隐含了一个"1"，所以应该是一共24位数字，所能表示的范围是[0, 2 24 − 1 2^{24}-1 224−1]（因为隐含位默认是"1"，所以表示的数最小是1不是0，但是先不考虑0，后面会特殊介绍，这里只按一般值计算），看到这里我们知道这24位能表示的最大数字为 2 24 2^{24} 224-1，换算成10进制就是16777215，那么[0, 16777215]都是能精确表示的，因为他们都能写成1.b x 2 c 2^c 2c的形式，只要配合调整指数c就可以了。

16777215 这个数字可以写成1.1111111 11111111 1111111 * 2 23 2^{23} 223，所以这个数可以精确表示，然后考虑更大的数16777216，因为正好是2的整数次幂，可以表示1.0000000 00000000 00000000 * 2 24 2^{24} 224，所以这个数也可以精确表示，在考虑更大的数字16777217，这个数字如果写成上面的表示方法应该是 1.0000000 00000000 00000000 1 * 2 24 2^{24} 224，但是这时你会发现，小数点后尾数位已经是24位了，23位的存储空间已经无法精确存储，这时浮点数的精度问题也就是出现了。

看到这里发现 16777216 貌似是一个边界，超过这个数的数字开始不能精确表示了，那是不是所有大于16777216的数字都不能精确表示了呢？其实不是的，比如数字 33554432 就可以就可以精确表示成1.0000000 00000000 00000000 * 2 25 2^{25} 225，说道这里结合上面提到的float的内存表示方式，我们可以得出大于 16777216 的数字（不超上限），只要可以表示成小于24个2的n次幂相加，并且每个n之间的差值小于24就能够精确表示。换句话来说所有大于 16777216 的合理数字，都是[0, 16777215]范围内的精确数字通过乘以 2 n 2^n 2n得到的，同理所有小于1的正数，也都是 [0, 16777215] 范围内的精确数字通过乘以 2 n 2^n 2n得到的，只不过n取负数就可以了。

16777216 已经被证实是一个边界，小于这个数的整数都可以精确表示，表示成科学技术法就是1.6777216 * 1 0 7 10^{7} 107，从这里可以看出一共8位有效数字，由于最高位最大为1不能保证所有情况，所以最少能保证7位有效数字是准确的，这也就是常说float类型数据的精度。

float小数

从上面的分析我们已经知道，float可表示超过16777216范围的数字是跳跃的，同时float所能表示的小数也都是跳跃的，这些小数也必须能写成2的n次幂相加才可以，比如0.5、0.25、0.125…以及这些数字的和，像5.2这样的数字使用float类型是没办法精确存储的，5.2的二进制表示为101.0011001100110011001100110011……最后的0011无限循环下去，但是float最多能存储23位尾数，那么计算机存储的5.2应该是101.001100110011001100110，也就是数字 5.19999980926513671875，计算机使用这个最接近5.2的数来表示5.2。关于小数的精度与刚才的分析是一致的，当第8位有效数字发生变化时，float可能已经无法察觉到这种变化了。

float特殊值

我们知道float存储浮点数的形式是(±)1.b x 2 c 2^c 2c，因为尾数位前面一直是个1，所以无论b和c取什么样的值，都无法得到0，所以在float的表示方法中有一些特殊的约定，用来表示0已经其他的情况。

float的内存表示指数位数有8位，范围是[0, 255]，考虑偏移量实际的指数范围是[-127,128]，但实际情况下指数位表示一般数字时不允许同时取0或者同时取1，也就是指数位的实际范围是[-126,127]，而指数取-127和128时有其特殊含义，具体看下面表格：

总结

1. float的精度是保证至少7位有效数字是准确的
2. float的取值范围[-3.4028235E38, 3.4028235E38]，精确范围是[-340282346638528859811704183484516925440, 340282346638528859811704183484516925440]
3. 一个简单的测试float精度方法，C++代码中将数字赋值给float变量，如果给出警告warning C4305: “=”: 从“int”到“float”截断，则超出了float的精度范围，在我的测试中赋值为16777216及以下整数没有警告，赋值为16777217时给出了警告。