图1 串联谐振电路 输入阻抗为:
Z
i
n
=
R
+
j
ω
L
−
j
1
ω
C
=
R
+
j
X
Z_{in} =R+jωL-j\frac{1}{ωC} = R + jX
Zin=R+jωL−jωC1=R+jX 谐振电路的谐振条件的实质是电容中的电场能与电感中的磁场能相互转换,也就是磁场储能等于电场储能(
W
e
=
W
m
W_e = W_m
We=Wm)对应于输入阻抗为虚部X=0。 所以有
j
ω
L
=
j
1
ω
C
jωL=j\frac{1}{ωC}
jωL=jωC1.所以谐振电路的谐振频率
ω
0
=
1
L
C
ω_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}
ω0=LC1 谐振电路的品质因数
Q
=
ω
平均储能
损耗功率
Q = ω\frac{平均储能}{损耗功率}
Q=ω损耗功率平均储能 所以
Q
=
ω
W
e
+
W
m
P
L
Q = ω\frac{W_e+W_m}{P_L}
Q=ωPLWe+Wm 当发生谐振时
W
e
=
W
m
W_e = W_m
We=Wm此时串联谐振电路的品质因数
Q
=
ω
0
2
W
m
P
L
=
ω
0
L
R
=
1
ω
0
R
C
Q = ω_0\frac{2W_m}{P_L}=\frac{ω_0L}{R} = \frac{1}{ω_0RC}
Q=ω0PL2Wm=Rω0L=ω0RC1 频带带宽
B
W
=
f
0
Q
0
=
1
2
π
R
L
BW = \frac{f_0}{Q_0} = \frac{1}{2π}\frac{R}{L}
BW=Q0f0=2π1LR
二、并联谐振电路
当电容C和电感L并联时构成并联谐振电路。如图2所示。
图2 并联谐振电路 此时并联谐振电路的等效导纳为
Y
=
j
ω
L
+
1
j
ω
C
+
1
r
=
1
r
+
j
(
ω
L
−
1
ω
C
)
=
G
+
j
B
Y= jωL+\frac{1}{jωC}+\frac{1}{r}=\frac{1}{r}+j(ωL-\frac{1}{ωC})=G+jB
Y=jωL+jωC1+r1=r1+j(ωL−ωC1)=G+jB 与串联谐振电路相似,并联谐振电路的谐振条件为B=0。即
ω
L
−
1
ω
C
=
0
ωL-\frac{1}{ωC}=0
ωL−ωC1=0由此可以得出谐振频率
ω
0
=
1
L
C
ω_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}
ω0=LC1,此时谐振电路的电压可以表示为
V
=
I
Y
V=\frac{I}{Y}
V=YI,当电路达到谐振时电压达到最大
V
m
a
x
=
I
r
V_{max} = Ir
Vmax=Ir。 谐振电路的品质因数可以表示为
Q
=
r
ω
0
L
=
r
ω
0
=
r
C
L
Q = \frac{r}{ω_0L} = rω_0 = r\sqrt{\frac{C}{L}}
Q=ω0Lr=rω0=rLC。 频带带宽
B
W
=
f
0
Q
0
=
1
2
π
1
r
C
BW = \frac{f_0}{Q_0} = \frac{1}{2π}\frac{1}{rC}
BW=Q0f0=2π1rC1