复数矩阵

矩阵 A A A 的元素 a i j ∈ C a_{ij}\in\Complex aij​∈C ，称为复矩阵。现将实数矩阵的一些概念推广到复数矩阵，相应的一些性质在复数矩阵同样适用。

定义：设复矩阵 A = ( a i j ) m × n A=(a_{ij})_{m\times n} A=(aij​)m×n​

1. 矩阵 A ˉ = ( a i j ‾ ) \bar A=(\overline{a_{ij}}) Aˉ=(aij​​) 称为矩阵 A A A 的共轭矩阵.
2. 矩阵 A H = A ˉ T A^H=\bar A^T AH=AˉT 称为矩阵 A A A 的共轭转置，又叫Hermite转置。
3. 若 A H = A A^H=A AH=A，则称 A A A 为 Hermitian 矩阵，是实数域对称阵的推广。
4. 若 A H A = A A H = I A^HA=AA^H=I AHA=AAH=I，即 A − 1 = A H A^{-1}=A^H A−1=AH ，则称 A A A 为酉矩阵(unitary matrix)，是实数域正交阵的推广。
5. 复向量长度 ∥ z ∥ 2 = ∣ z 1 ∣ 2 + ∣ z 1 ∣ 2 + ⋯ + ∣ z n ∣ 2 \|\mathbf z\|^2=|z_1|^2+|z_1|^2+\cdots+|z_n|^2 ∥z∥2=∣z1​∣2+∣z1​∣2+⋯+∣zn​∣2
6. 内积 u H v = u ˉ 1 v 1 + u ˉ 2 v 2 + ⋯ + u ˉ n v n \mathbf u^H\mathbf v=\bar u_1v_1+\bar u_2v_2+\cdots+\bar u_nv_n uHv=uˉ1​v1​+uˉ2​v2​+⋯+uˉn​vn​
7. 正交 u H v = 0 \mathbf u^H\mathbf v=0 uHv=0

性质：

• A + B ‾ = A ‾ + B ‾ \overline{A+B}=\overline A+\overline B A+B​=A+B
• k A ‾ = k ˉ A ˉ \overline{kA}=\bar k \bar A kA=kˉAˉ
• A B ‾ = A ˉ B ˉ \overline{AB}=\bar A\bar B AB=AˉBˉ
• ( A B ) H = B H A H (AB)^H=B^HA^H (AB)H=BHAH
• 内积满足共轭交换率 u H v = v H u ‾ \mathbf u^H\mathbf v=\overline{\mathbf v^H\mathbf u} uHv=vHu
• Hermitian 矩阵可正交对角化 A = P Λ P − 1 = P Λ P H A=P\Lambda P^{-1}=P\Lambda P^H A=PΛP−1=PΛPH
• Hermitian 矩阵的每个特征值都是实数

附录

极大线性无关组

由向量组线性相关的定义，容易得到以下结论：

(1) 向量组线性相关    ⟺    \iff ⟺向量组中存在向量能被其余向量线性表示。
(2) 向量组线性无关    ⟺    \iff ⟺向量组中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。

线性等价：给定两个向量组
a 1 , a 2 , ⋯   , a r b 1 , b 2 , ⋯   , b s \mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r \\ \mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots,\mathbf b_s a1​,a2​,⋯,ar​b1​,b2​,⋯,bs​
如果其中的每个向量都能被另一个向量组线性表示，则两个向量组线性等价。

例如，向量组 a , b , a + b \mathbf a,\mathbf b,\mathbf a+\mathbf b a,b,a+b 与向量组 a , b \mathbf a,\mathbf b a,b 线性等价。

极大线性无关组：从向量组 A A A 中取 r r r 个向量组成部分向量组 a 1 , a 2 , ⋯   , a r \mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r a1​,a2​,⋯,ar​ ，若满足

(1) 部分向量组 a 1 , a 2 , ⋯   , a r \mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r a1​,a2​,⋯,ar​ 线性无关
(2) 从 A A A 中任取 r + 1 r+1 r+1个向量组成的向量组 都线性相关。

则称向量组 a 1 , a 2 , ⋯   , a r \mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r a1​,a2​,⋯,ar​ 为极大线性无关组(maximum linearly independent group)。极大线性无关组包含的向量个数为向量组的秩。

性质：

(1) 一个向量组的极大线性无关组不一定是惟一的；
(2) 一个向量组与它的极大线性无关组是等价的；
(3) 一个向量组的任意两个极大线性无关组中包含的向量个数相同，称为向量组的秩(rank)。全由零向量组成的向量组的秩为零；
(4) 两个线性等价的向量组的秩相等；
(5) 两个等价的向量组生成的向量空间相同。

向量叉积

平面叉积
[ v 1 v 2 ] × [ w 1 w 2 ] = det ⁡ [ v 1 w 1 v 2 w 2 ] \begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}w_1\\w_2\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}v_1 & w_1\\ v_2 & w_2 \end{bmatrix} [v1​v2​​]×[w1​w2​​]=det[v1​v2​​w1​w2​​]
大小等于 v , w v,w v,w 围成的平行四边形的面积

三维叉积
[ v 1 v 2 v 3 ] × [ w 1 w 2 w 3 ] = det ⁡ [ i v 1 w 1 j v 2 w 2 k v 3 w 3 ] \begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}\mathbf i & v_1 & w_1\\\mathbf j & v_2 & w_2 \\\mathbf k & v_3 & w_3 \end{bmatrix} ​v1​v2​v3​​ ​× ​w1​w2​w3​​ ​=det ​ijk​v1​v2​v3​​w1​w2​w3​​ ​
大小等于 v , w v,w v,w 围成的平行六面体的体积，方向遵循右手定则。