我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：
A
x
=
λ
x
Ax=λx
Ax=λx
其中A是一个n×n的实对称矩阵，x是一个n维向量，则我们说λ是矩阵A的一个特征值，而x是矩阵A的特征值λ所对应的特征向量。
求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值
λ
1
≤
λ
2
≤
.
.
.
≤
λ
n
λ_1≤λ_2≤...≤λ_n
λ1≤λ2≤...≤λn,以及这n个特征值所对应的特征向量
w
1
,
w
2
,
.
.
.
,
w
n
w_1,w_2,...,w_n
w1,w2,...,wn，如果这n个特征向量线性无关，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：
A
=
W
Σ
W
−
1
A=WΣW^−1
A=WΣW−1
其中W是这n个特征向量所张成的n×n维矩阵，而Σ为这n个特征值为主对角线的n×n维矩阵。一般我们会把W的这n个特征向量标准化，即满足 ∣ ∣ w i ∣ ∣ 2 = 1 ||w_i||_2=1 ∣∣wi∣∣2=1, 或者说 w i T w i = 1 w^T_iw_i=1 wiTwi=1，此时W的n个特征向量为标准正交基，满足 W T W = I W^TW=I WTW=I，即 W T = W − 1 W^T=W^−1 WT=W−1, 也就是说W为酉矩阵。
这样我们的特征分解表达式可以写成
A
=
W
Σ
W
T
A=WΣW^T
A=WΣWT
注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。
SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：
A
=
U
Σ
V
T
A=UΣV^T
A=UΣVT
其中U是一个m×m的矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个n×n的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足
U
T
U
=
I
,
V
T
V
=
I
U^TU=I,V^TV=I
UTU=I,VTV=I。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：
如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到n×n的一个方阵
A
T
A
A^TA
ATA。既然ATA是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
(
A
T
A
)
v
i
=
λ
i
v
i
(A^TA)v_i=λ_iv_i
(ATA)vi=λivi
这样我们就可以得到矩阵
A
T
A
A^TA
ATA的n个特征值和对应的n个特征向量v了。将
A
T
A
A^TA
ATA的所有特征向量张成一个n×n的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。
如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到m×m的一个方阵
A
A
T
AA^T
AAT。既然
A
A
T
AA^T
AAT是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
(
A
A
T
)
u
i
=
λ
i
u
i
(AA^T)u_i=λ_iu_i
(AAT)ui=λiui
这样我们就可以得到矩阵 A A T AA^T AAT的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将AAT的所有特征向量张成一个m×m的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。
U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵Σ没有求出了。由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。
我们注意到:
A
=
U
Σ
V
T
⇒
A
V
=
U
Σ
V
T
V
⇒
A
V
=
U
Σ
⇒
A
v
i
=
σ
i
u
i
⇒
σ
i
=
A
v
i
/
u
i
A=UΣV^T⇒AV=UΣV^TV⇒AV=UΣ⇒Av_i=σ_iu_i⇒σ_i=Av_i/u_i
A=UΣVT⇒AV=UΣVTV⇒AV=UΣ⇒Avi=σiui⇒σi=Avi/ui
这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ。
上面还有一个问题没有讲，就是我们说ATA的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而AAT的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。
A
=
U
Σ
V
T
⇒
A
T
=
V
Σ
T
U
T
⇒
A
T
A
=
V
Σ
T
U
T
U
Σ
V
T
=
V
Σ
2
V
T
A=U \Sigma V^{T} \Rightarrow A^{T}=V \Sigma^{T} U^{T} \Rightarrow A^{T} A=V \Sigma^{T} U^{T} U \Sigma V^{T}=V \Sigma^{2} V^{T}
A=UΣVT⇒AT=VΣTUT⇒ATA=VΣTUTUΣVT=VΣ2VT
上式证明使用了:
U
T
U
=
I
,
Σ
T
Σ
=
Σ
2
U^TU=I,Σ^TΣ=Σ^2
UTU=I,ΣTΣ=Σ2。
可以看出
A
T
A
A^TA
ATA的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到
A
A
T
AA^T
AAT的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。
进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：
σ
i
=
λ
i
\sigma_{i}=\sqrt{\lambda_{i}}
σi=λi
这样也就是说，我们可以不用
σ
i
=
A
v
i
/
u
i
=
\sigma_{i}=A v_{i} / u_{i}=
σi=Avi/ui=来计算奇异值，也可以通过求出
A
T
A
A^TA
ATA的特征值取平方根来求奇异值。
这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：
A
=
(
0
1
1
1
1
0
)
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)
A=⎝⎛011110⎠⎞
我们首先求出
A
T
A
A^TA
ATA和
A
A
T
AA^T
AAT
A
T
A
=
(
0
1
1
1
1
0
)
(
0
1
1
1
1
0
)
=
(
2
1
1
2
)
A
A
T
=
(
0
1
1
1
1
0
)
(
0
1
1
1
1
0
)
=
(
1
1
0
1
2
1
0
1
1
)
\begin{array}{c} \mathbf{A}^{\mathbf{T}} \mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right) \\ \mathbf{A} \mathbf{A}^{\mathbf{T}}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \end{array}
ATA=(011110)⎝⎛011110⎠⎞=(2112)AAT=⎝⎛011110⎠⎞(011110)=⎝⎛110121011⎠⎞
进而求出
A
T
A
A^TA
ATA的特征值和特征向量：
λ
1
=
3
;
v
1
=
(
1
/
2
1
/
2
)
;
λ
2
=
1
;
v
2
=
(
−
1
/
2
1
/
2
)
\lambda_{1}=3 ; v_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} \end{array}\right) ; \lambda_{2}=1 ; v_{2}=\left(\begin{array}{c} -1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} \end{array}\right)
λ1=3;v1=(1/2
1/2
);λ2=1;v2=(−1/2
1/2
)
接着求
A
A
T
AA^T
AAT的特征值和特征向量：
λ
1
=
3
;
u
1
=
(
1
/
6
2
/
6
1
/
6
)
;
λ
2
=
1
;
u
2
=
(
1
/
2
0
−
1
/
2
)
;
λ
3
=
0
;
u
3
=
(
1
/
3
−
1
/
3
1
/
3
)
\lambda_{1}=3 ; u_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{6} \\ 2 / \sqrt{6} \\ 1 / \sqrt{6} \end{array}\right) ; \lambda_{2}=1 ; u_{2}=\left(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{2} \\ 0 \\ -1 / \sqrt{2} \end{array}\right) ; \lambda_{3}=0 ; u_{3}=\left(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{3} \\ -1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{3} \end{array}\right)
λ1=3;u1=⎝⎛1/6
2/6
1/6
⎠⎞;λ2=1;u2=⎝⎛1/2
0−1/2
⎠⎞;λ3=0;u3=⎝⎛1/3
−1/3
1/3
⎠⎞
利用
A
v
i
=
σ
i
u
i
,
i
=
1
,
2
Av_i=σ_iu_i,i=1,2
Avi=σiui,i=1,2求奇异值：
(
0
1
1
1
1
0
)
(
1
/
2
1
/
2
)
=
σ
1
(
1
/
6
2
/
6
1
/
6
)
⇒
σ
1
=
3
(
0
1
1
1
1
0
)
(
−
1
/
2
1
/
2
)
=
σ
2
(
1
/
2
0
−
1
/
2
)
⇒
σ
2
=
1
\begin{array}{l} \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} \end{array}\right)=\sigma_{1}\left(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{6} \\ 2 / \sqrt{6} \\ 1 / \sqrt{6} \end{array}\right) \Rightarrow \sigma_{1}=\sqrt{3} \\ \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} -1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} \end{array}\right)=\sigma_{2}\left(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{2} \\ 0 \\ -1 / \sqrt{2} \end{array}\right) \Rightarrow \sigma_{2}=1 \end{array}
⎝⎛011110⎠⎞(1/2
1/2
)=σ1⎝⎛1/6
2/6
1/6
⎠⎞⇒σ1=3
⎝⎛011110⎠⎞(−1/2
1/2
)=σ2⎝⎛1/2
0−1/2
⎠⎞⇒σ2=1
当然，我们也可以用
σ
i
=
λ
i
\sigma_{i}=\sqrt{\lambda_{i}}
σi=λi
直接求出奇异值为
3
\sqrt{3}
3
和1.
最终得到A的奇异值分解为：
A
=
U
Σ
V
T
=
(
1
/
6
1
/
2
1
/
3
2
/
6
0
−
1
/
3
1
/
6
−
1
/
2
1
/
3
)
(
3
0
0
1
0
0
)
(
1
/
2
1
/
2
−
1
/
2
1
/
2
)
A=U \Sigma V^{T}=\left(\begin{array}{ccc} 1 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{3} \\ 2 / \sqrt{6} & 0 & -1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{6} & -1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{3} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} \\ -1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} \end{array}\right)
A=UΣVT=⎝⎛1/6
2/6
1/6
1/2
0−1/2
1/3
−1/3
1/3
⎠⎞⎝⎛3
00010⎠⎞(1/2
−1/2
1/2
1/2
)
上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？
对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：
A
m
×
n
=
U
m
×
m
Σ
m
×
n
V
n
×
n
T
≈
U
m
×
k
Σ
k
×
k
V
k
×
n
T
A_{m \times n}=U_{m \times m} \Sigma_{m \times n} V_{n \times n}^{T} \approx U_{m \times k} \Sigma_{k \times k} V_{k \times n}^{T}
Am×n=Um×mΣm×nVn×nT≈Um×kΣk×kVk×nT
其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵
U
m
×
k
,
Σ
k
×
k
,
V
k
×
n
T
U_{m×k},Σ_{k×k},V^T_{k×n}
Um×k,Σk×k,Vk×nT
来表示。
如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。
由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。
min
∥
A
x
−
b
∥
2
2
A
∈
R
m
∗
n
x
∈
R
n
b
∈
R
m
\begin{array}{l} \min \|A x-b\|_{2}^{2} \\ A \in R^{m^{* n}} \quad x \in R^{n} \quad b \in R^{m} \end{array}
min∥Ax−b∥22A∈Rm∗nx∈Rnb∈Rm
m个方程求解n个未知数，有三种情况：
通常我们遇到的都是超定问题，此时Ax=b的解是不存在的，从而转向解最小二乘问题：
J
(
x
)
=
m
i
n
∥
A
x
−
b
∥
2
2
J(x)=min \|A x-b\|_{2}^{2}
J(x)=min∥Ax−b∥22
J(x)为凸函数，我们令一阶导数为0，得到：
A
T
A
x
−
A
T
b
=
0
A^{T} A x-A^{T} b=0
ATAx−ATb=0,称之为正规方程一般解：
x
=
(
A
T
A
)
−
1
A
T
b
x=\left(A^{T} A\right)^{-1} A^{T} b
x=(ATA)−1ATb
因为矩阵的逆很难求解，因此用SVD分解A矩阵
https://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html
创作不易，如果对您有帮助，就打赏一下吧O(∩_∩)O
