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均值不等式链的几何证明

2023-11-17

均值不等式链的几何证明

这是我们高中时所见到的不等式链的关系，接下来将用几何图形的方法进行证明。

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首先，做圆 A，直径 BC，在圆上异于 BC 取一点 D，连接 DA，DB，DC，并做 DE 垂直与 BC 交 BC 与点 E。设 CE = a，BE = b，因为 ▲CDE 与 ▲DBE 相似，从而求出 DE，在▲ADE 中，DA 显然比 DE 大，所以有如下结果。

由此，我们可以得出几何平均数和算数平均数之间的关系，之后，我们对上述图形进行改进，使其可以表示四种平均数之间的不等关系。
以 AE 为半径，A 为圆心作圆A’，过点 E，A 分别做 EF，AG 垂直与 AD 交 AD 与 F，交圆A’与点G，通过相似关系可得

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