矩阵乘法
为了单纯起见，我们这里以方形的矩阵为例子。基本上，假设有两个矩阵 A 和 B，则计算 AB = C 的方法如下：
for(j = 0; j< n; j++) {
C[i][j] =0;
for(k= 0; k< n; k++) {
C[i][j] += A[i][k]* B[k][j];
}
}
}
一开始，我们先准备好产生数据、设定 CUDA 等等的工作：
int main()
{
float*a, *b, *c,*d;
int n= 1000;
if(!InitCUDA())return 0;
a = (float*) malloc(sizeof(float)* n * n);
b = (float*) malloc(sizeof(float)* n * n);
c = (float*) malloc(sizeof(float)* n * n);
d = (float*) malloc(sizeof(float)* n * n);
srand(0);
matgen(a, n, n);
matgen(b, n, n);
clock_t time = matmultCUDA(a, n, b, n, c, n, n);
matmult(a, n, b, n, d, n, n);
compare_mat(c, n, d, n, n);
double sec= (double) time/ CLOCKS_PER_SEC;
printf("Time used: %.2f (%.2lf GFLOPS)\n", sec,
2.0* n * n * n/ (sec * 1E9));
return0;
}
InitCUDA 函式和第一个 CUDA 程序一样，可以直接参考前面的文章。以下是上面用到的一些其它的函式：
产生矩阵：
void matgen(float* a,int lda, int n)
{
int i, j;
for(i= 0; i< n; i++) {
for(j= 0; j< n; j++) {
a[i * lda+ j] = (float) rand()/ RAND_MAX +
(float) rand()/ (RAND_MAX* RAND_MAX);
}
}
}
这个函式只是利用随机数生成器把矩阵填满 0 ~ 1 之间的数字。特别注意到因为 C 语言中无法声明变动大小的二维矩阵，所以我们使用 i * lda + j 的方式。
进行矩阵乘法：
void matmult(constfloat* a,int lda, const float* b,int ldb,
float* c,int ldc, int n)
{
int i, j, k;
for(i= 0; i< n; i++) {
for(j= 0; j< n; j++) {
double t= 0;
for(k= 0; k< n; k++) {
t += a[i* lda + k] * b[k* ldb + j];
}
c[i * ldc+ j] = t;
}
}
}
这是以 CPU 进行矩阵乘法、用来进行验证答案正确与否的程序。特别注意到它用 double 来储存暂时的计算结果，以提高精确度。
验证结果：
void compare_mat(constfloat* a,int lda,
constfloat* b,int ldb, int n)
{
float max_err= 0;
float average_err= 0;
int i, j;
for(i= 0; i< n; i++) {
for(j= 0; j< n; j++) {
if(b[i* ldb + j] !=0) {
float err= fabs((a[i* lda + j] -
b[i * ldb+ j]) / b[i * ldb+ j]);
if(max_err< err) max_err= err;
average_err += err;
}
}
}
printf("Max error: %g Average error: %g\n",
max_err, average_err / (n* n));
}
这个函式计算两个矩阵的最大相对误差和平均相对误差，并把结果印出来。
最后是 CUDA 的矩阵乘法的部份：
#define NUM_THREADS 256
clock_t matmultCUDA(constfloat* a,int lda,
constfloat* b,int ldb, float* c,int ldc, int n)
{
float*ac, *bc, *cc;
clock_t start, end;
start = clock();
cudaMalloc((void**)&ac, sizeof(float)* n * n);
cudaMalloc((void**)&bc, sizeof(float)* n * n);
cudaMalloc((void**)&cc, sizeof(float)* n * n);
cudaMemcpy2D(ac, sizeof(float)* n, a, sizeof(float)* lda,
sizeof(float)* n, n, cudaMemcpyHostToDevice);
cudaMemcpy2D(bc, sizeof(float)* n, b, sizeof(float)* ldb,
sizeof(float)* n, n, cudaMemcpyHostToDevice);
int blocks= (n + NUM_THREADS - 1)/ NUM_THREADS;
matMultCUDA<<<blocks* n, NUM_THREADS>>>
(ac, n, bc, n, cc, n, n);
cudaMemcpy2D(c, sizeof(float)* ldc, cc, sizeof(float)* n,
sizeof(float)* n, n, cudaMemcpyDeviceToHost);
cudaFree(ac);
cudaFree(bc);
cudaFree(cc);
end = clock();
return end- start;
}
这个函式相当单纯，就是在显卡内存中配置存放矩阵的内存，然后把主内存中的矩阵数据复制到显卡内存上。不过，因为我们的矩阵乘法函式可以指定 pitch(即 lda、ldb、和 ldc)，所以如果用一般的 cudaMemcpy 函式来复制内存的话，会需要每个 row 都分开复制，那会需要呼叫很多次 cudaMemcpy 函式，会使效率变得很差。因此，在这里我们用了一个新的 cudaMemcpy2D 函式，它是用来复制二维数组，可以指定数组的 pitch。这样就可以透过一次函数调用就可以了。
进行计算的 kernel 如下：
__global__ staticvoid matMultCUDA(constfloat* a, size_t lda,
constfloat* b, size_t ldb,float* c, size_t ldc,int n)
{
constint tid = threadIdx.x;
constint bid = blockIdx.x;
constint idx = bid * blockDim.x+ tid;
constint row = idx / n;
constint column = idx % n;
int i;
if(row< n && column < n) {
float t= 0;
for(i= 0; i< n; i++) {
t += a[row* lda + i] * b[i* ldb + column];
}
c[row * ldc+ column] = t;
}
}
这个函式一开始先从 bid 和 tid 计算出这个 thread 应该计算的 row 和 column，在判断 row 和 column 在范围内之后，就直接进行计算，并把结果写到 c 矩阵中，是非常单纯的函式。
在 GeForce 8800GT 上实际执行的结果如下：
Max error: 2.01484e-006 Average error: 3.36637e-007
Time used: 1.1560 (1.73 GFLOPS)
可以看到两个问题：
很明显的，执行效率相当低落。
最大相对误差偏高。理想上应该要低于 1e-6。
计算结果的误差偏高的原因是，在 CPU 上进行计算时，我们使用 double(即 64 bits 浮点数)来累进计算过程，而在 GPU 上则只能用 float(32 bits 浮点数)。在累加大量数字的时候，由于累加结果很快会变大，因此后面的数字很容易被舍去过多的位数。
由于 CUDA 的浮点数运算，在进行加、减、乘法时是符合 IEEE 754 规定的精确度的，因此，我们可以利用 Kahan's Summation Formula 来提高精确度。把程序改成：
if(row < n&& column < n) {
float t= 0;
float y= 0;
for(i= 0; i< n; i++) {
float r;
y -= a[row* lda + i] * b[i* ldb + column];
r = t- y;
y = (r- t) + y;
t = r;
}
}
修改后的程序的执行结果是：
Max error: 1.19209e-007 Average error: 4.22751e-008
Time used: 1.1560 (1.73 GFLOPS)
可以看到相对误差有很大的改善，效率则没什么变化。
由于 Kahan's Summation Formula 需要的运算量提高，但是效率却没有什么改变，可以看出这个 kernel 主要的瓶颈应该是在内存的存取动作上。这是因为有大量的内存读取是重复的。例如，矩阵 a 的一个 row 在每次进行计算时都被重复读入，但这是相当浪费的。这样的计算方式，总共需要读取 2*n3 次内存。如果让一个 row 只需要读入一次的话，就可以减到为 n3+n2 次。
第一个改良
和我们的第一个 CUDA 程序一样，我们可以利用 shared memory 来储存每个 row 的数据。不过，因为只有同一个 block 的 threads 可以共享 shared memory，因此现在一个 row 只能由同一个 block 的 threads 来进行计算。另外我们也需要能存放一整个 row 的 shared memory。因此，把先把呼叫 kernel 的部份改成：
matMultCUDA<<>>
(ac, n, bc, n, cc, n, n);
kernel 的部份则改成：
__global__ staticvoid matMultCUDA(constfloat* a, size_t lda,
constfloat* b, size_t ldb,float* c, size_t ldc,int n)
{
extern __shared__float data[];
constint tid = threadIdx.x;
constint row = blockIdx.x;
int i, j;
for(i= tid; i < n; i += blockDim.x) {
data[i] = a[row* lda + i];
}
__syncthreads();
for(j= tid; j < n; j += blockDim.x) {
float t= 0;
float y= 0;
for(i= 0; i< n; i++) {
float r;
y -= data[i]* b[i * ldb + j];
r = t- y;
y = (r- t) + y;
t = r;
}
c[row * ldc+ j] = t;
}
}
第一个部份先把整个 row 读到 shared memory 中，而第二个部份则进行计算，并没有太大的变化。主要的差别是现在一个 row 只由一个 block 进行计算。
在 GeForce 8800GT 上，执行的结果是：
Max error: 1.19209e-007 Average error: 4.22751e-008
Time used: 0.4220 (4.74 GFLOPS)
很明显的，计算的结果并没有改变，不过速度则提高了超过一倍。虽然如此，但是这样的效率仍不尽理想，因为理论上 GeForce 8800GT 有超过 300GFLOPS 的运算性能。即使是把 Kahan's Summation Formula 所需要的额外运算考虑进去，这样的效率仍然连理论最大值的十分之一都不到。
会有这样的结果，原因其实还是同样的：对内存的存取次数太多了。虽然现在 A 矩阵的 row 的数据已经不再需要重复读取，但是 B 矩阵的 column 的数据仍然一直被重复读取。
另一个问题比较不是那么明显：对 B 矩阵的读取，虽然看起来不连续，但实际上它是连续的。这是因为不同的 thread 会读取不同的 column，因此同时间每个 thread 读取的各个 column 加起来，就是一个连续的内存区块。那么，为什么效率还是不佳呢?这是因为，GPU 上的内存控制器，从某个固定的倍数地址开始读取，才会有最高的效率(例如 16 bytes 的倍数)。由于矩阵大小并不是 16 的倍数(这里使用的是 1000x1000 的矩阵)，所以造成效率不佳的情形。
要解决这个问题，我们可以在 cudaMalloc 的时候稍微修改一下，让宽度变成 适当的倍数就可以了。但是，适当的倍数是多少呢?幸运的是，我们并不需要知道这些细节。CUDA 提供了一个 cudaMallocPitch 的函式，可以自动以最佳的倍数来配置内存。因此，我们可以把 cudaMalloc 的部份改成：
size_t pitch_a, pitch_b, pitch_c;
cudaMallocPitch((void**)&ac, &pitch_a, sizeof(float)* n, n);
cudaMallocPitch((void**)&bc, &pitch_b, sizeof(float)* n, n);
cudaMallocPitch((void**)&cc, &pitch_c, sizeof(float)* n, n);
cudaMallocPitch 函式会以适当的倍数配置内存，并把配置的宽度传回。因此，在把矩阵复制到显卡内存上时，要使用它传回的宽度：
cudaMemcpy2D(ac, pitch_a, a, sizeof(float) * lda,
sizeof(float) * n, n, cudaMemcpyHostToDevice);
cudaMemcpy2D(bc, pitch_b, b, sizeof(float) * ldb,
sizeof(float) * n, n, cudaMemcpyHostToDevice);
呼叫 kernel 的部份也需要修改：
matMultCUDA<<>>
(ac, pitch_a / sizeof(float), bc, pitch_b / sizeof(float),
cc, pitch_c / sizeof(float), n);
同样的，把计算结果复制回到主内存时，也要使用传回的宽度值：
cudaMemcpy2D(c, sizeof(float) * ldc, cc, pitch_c,
sizeof(float) * n, n, cudaMemcpyDeviceToHost);
这样就完成了。Kernel 部份则不需要修改。
这样的修改有多大的效果呢?在 GeForce 8800GT 上执行，结果如下：
Max error: 1.19209e-007 Average error: 4.22751e-008
Time used: 0.1250 (16.00 GFLOPS)
可以看到，执行速度又再大幅提高了三倍多!而这只是把内存的配置方式稍微修改一下而已。
虽然执行速度提高了很多，但是，和前面提到的理论值相比，其实还是有相当的差距。这是因为，前面也提到过，这样的做法需要 n3+n2 次的内存读取，和 n2 次的内存写入动作。由于 n = 1000，每个数字的大小是 32 bits，所以总共的内存存取数据量约为 4GB。除以实际执行的时间 0.125 秒，得到的带宽数值是约 32GB/s，这已经接近 GeForce 8800GT 显卡内存的带宽了。由于我们计算时间的时候，把配置内存、以及数据的复制动作也计算进去，因此实际上花费在 kernel 的时间是更短的(约 0.09 秒)。因此，可以很明显的看出，这个程序的效率，是受限于内存带宽的。
进一步的改良
上一节的结论显示出，矩阵乘法的程序，效率是受限于内存带宽的。那有没有办法降低内存的存取次数呢?答案当然是有的，不然就不会有这一节了 :)
要进一步降低内存带宽的使用，可以注意到，在上一节的方法中，虽然 A 矩阵的存取次数被减至最低，但是 B 矩阵的存取次数并没有减少。这是因为我们只将 A 矩阵的 row 加载到 shared memory 中，但是 B 矩阵的 column 也是有被重复使用的。理想上应该也可以避免重复加载才对。不过，由于 B 矩阵的 column 使用的时机，和 A 矩阵的 row 是不同的，所以并不能直接这样做。
解决方法是 "blocking"。也就是把整个矩阵乘法的动作，切割成很多小矩阵的乘法。例如，要计算 C 矩阵的 (0, 0) ~ (15, 15) 的值，可以把它想成：
A(0~15, 0~15) * B(0~15, 0~15) + A(0~15,16~31) * B(16~31, 0~15)
+ A(0~15, 32~47) * B(32~47, 0~15) + ...
这样一来，我们就可以把两个小矩阵加载到 shared memory，则小矩阵本身的乘法就不需要再存取任何外部的内存了!这样一来，假设小矩阵的大小是 k，则实际上需要的内存存取次数就会变成约 2k2(n/k)3 = 2n3/k。
由于目前 CUDA 每个 block 的 thread 数目最多是 512，因此 k = 16 似乎是一个相当理想的数字(共 256 个 threads)。因此，对于一个 n = 1000 的矩阵来说，我们可以把内存存取的量减少到约 500MB，也就是上一节的存取量的 1/8。理论上，这样应该可以让效率提高八倍(假设没有遇到别的瓶颈)。
为了方便进行区块的计算，我们让每个 block 有 16x16 个 threads，再建立 (n/16)x(n/16) 个 blocks。把呼叫 kernel 的地方改成：
int bx = (n + BLOCK_SIZE - 1) / BLOCK_SIZE;
dim3 blocks(bx, bx);
dim3 threads(BLOCK_SIZE, BLOCK_SIZE);
matMultCUDA<<<blocks, threads>>>(ac, pitch_a / sizeof(float),
bc, pitch_b / sizeof(float), cc, pitch_c / sizeof(float), n);
BLOCK_SIZE 则是定义成 16。dim3 是 CUDA 的一种数据型态，表示一个 3D 的向量。在这里，我们透过 dim3 来建立 16x16 个 threads 的 block，和 (n/16)x(n/16) 个 blocks。
Kernel 程序的部份，则改成：
__global__ static void matMultCUDA(const float* a, size_t lda,
const float* b, size_t ldb, float* c, size_t ldc, int n)
{
__shared__ float matA[BLOCK_SIZE][BLOCK_SIZE];
__shared__ float matB[BLOCK_SIZE][BLOCK_SIZE];
const int tidc = threadIdx.x;
const int tidr = threadIdx.y;
const int bidc = blockIdx.x * BLOCK_SIZE;
const int bidr = blockIdx.y * BLOCK_SIZE;
int i, j;
float results = 0;
float comp = 0;
for(j = 0; j < n; j += BLOCK_SIZE) {
if(tidr + bidr < n && tidc + j < n) {
matA[tidr][tidc] = a[(tidr + bidr) * lda + tidc + j];
}
else {
matA[tidr][tidc] = 0;
}
if(tidr + j < n && tidc + bidc < n) {
matB[tidr][tidc] = b[(tidr + j) * ldb + tidc + bidc];
}
else {
matB[tidr][tidc] = 0;
}
__syncthreads();
for(i = 0; i < BLOCK_SIZE; i++) {
float t;
comp -= matA[tidr][i] * matB[i][tidc];
t = results - comp;
comp = (t - results) + comp;
results = t;
}
__syncthreads();
}
if(tidr + bidr < n && tidc + bidc < n) {
c[(tidr + bidr) * ldc + tidc + bidc] = results;
}
}
注意到因为我们现在使用 16x16 的 threads，因此 threadIdx 变量可以取得 threadIdx.x 和 threadIdx.y，范围分别是 0 ~ 15。blockIdx.x 和 blockIdx.y 变量也是同样的情形，范围分别是 0 ~ n/16。
在程序中，因为矩阵的大小不一定会是 16 的倍数，因此需要使用 if 判断式检查是否超出矩阵范围。
这个版本在 GeForce 8800GT 上的执行结果如下：
Max error: 1.19209e-007 Average error: 4.22751e-008
Time used: 0.0780 (25.64 GFLOPS)
速度虽然提高了，但是似乎并没有达到预期中的八倍。当然，前面提到过，我们在计算时间时，把一些复制内存、配置内存的动作也计算在内，这些动作的时间并不会缩短。实际上 kernel 的运行时间，大约是 0.053 秒左右(约略相当于 38GFLOPS)，比上一节的版本快了将近一倍。
如果这一版程序已经不再限于内存带宽，那为什么没有达到预期的效率呢?这是因为这一版程序已经是限于指令周期了。除了使用 Kahan's Summation Formula 会需要更多的运算之外，程序中也有大量计算矩阵地址的乘法等等，这都会需要花费运算资源。另外，那些用来判断超出矩阵范围的 if 判断式，也会有一定的影响。
要把那些 if 判断式去掉，有一个方法是，在配置内存时，就配置成 16 的倍数，并在复制矩阵到显卡内存之前，先将它清为 0。如下所示：
int
newn
=
((n
+
BLOCK_SIZE
-
1
)
/
BLOCK_SIZE)
*
BLOCK_SIZE;
cudaMallocPitch((
void
**
)
&
ac,
&
pitch_a,
sizeof
(
float
)
*
newn, newn);
cudaMallocPitch((
void
**
)
&
bc,
&
pitch_b,
sizeof
(
float
)
*
newn, newn);
cudaMallocPitch((
void
**
)
&
cc,
&
pitch_c,
sizeof
(
float
)
*
newn, newn);
cudaMemset(ac,
0
, pitch_a
*
newn);
cudaMemset(bc,
0
, pitch_b
*
newn);
这样一来，我们就可以把 kernel 中的 if 判断式都移除了：
__global__
static
void
matMultCUDA(
const
float
*
a, size_t lda,
const
float
*
b, size_t ldb,
float
*
c, size_t ldc,
int
n)
{
__shared__
float
matA[BLOCK_SIZE][BLOCK_SIZE];
__shared__
float
matB[BLOCK_SIZE][BLOCK_SIZE];
const
int
tidc
=
threadIdx.x;
const
int
tidr
=
threadIdx.y;
const
int
bidc
=
blockIdx.x
*
BLOCK_SIZE;
const
int
bidr
=
blockIdx.y
*
BLOCK_SIZE;
int
i, j;
float
results
=
0
;
float
comp
=
0
;
for
(j
=
0
; j
<
n; j
+=
BLOCK_SIZE) {
matA[tidr][tidc]
=
a[(tidr
+
bidr)
*
lda
+
tidc
+
j];
matB[tidr][tidc]
=
b[(tidr
+
j)
*
ldb
+
tidc
+
bidc];
__syncthreads();
for
(i
=
0
; i
<
BLOCK_SIZE; i
++
) {
float
t;
comp
-=
matA[tidr][i]
*
matB[i][tidc];
t
=
results
-
comp;
comp
=
(t
-
results)
+
comp;
results
=
t;
}
__syncthreads();
}
c[(tidr
+
bidr)
*
ldc
+
tidc
+
bidc]
=
results;
}
这个版本的执行结果是：
Max error: 1.19209e-007 Average error: 4.22751e-008
Time used: 0.0780 (25.64 GFLOPS)
似乎没有改善。不过，实际上 kernel 的运行时间已经减少到 0.042 秒(约略相当于 48GFLOPS)。
结论
有些读者可能会想，如果把 block 再变得更大(例如 32x32)是否会有帮助呢?当然，由于最后的程序已经不再是受限于内存带宽(在 0.042 秒内存取 500MB 的数据约相当于 12GB/s 的带宽)，所以把 block 再加大并不会有帮助了。而且，由于一个 block 内的 thread 数目最多只能到 512 个，将 block 变大也会造成很多额外负担。而且 shared memory 的大小也有限制(GeForce 8800GT 的 shared memory 大小限制是 16384 bytes)，所以也不能任意增加 block 的大小。
