证明
D
X
=
E
(
X
2
)
−
(
E
X
)
2
DX = E(X^2) - (EX)^2
DX=E(X2)−(EX)2。
试列举一些常见的概率分布的方差。
如果，
X
1
,
X
2
,
⋯
 
,
X
n
X_1, X_2,\cdots,X_n
X1,X2,⋯,Xn 相互独立，那么，
D
(
a
1
X
1
+
a
2
X
2
+
⋯
+
a
n
X
n
)
=
?
D(a_1X_1 + a_2X_2 + \cdots + a_nX_n) = ?
D(a1X1+a2X2+⋯+anXn)=?。
对随机变量的标准化应该怎么进行？
变异系数是什么？
知识解答
方差的定义是什么？从离散随机变量，密度函数，以及分布函数的角度求解方差公式。
设 X 是随机变量，如果
E
[
X
−
E
(
X
)
]
2
E[X - E(X)]^2
E[X−E(X)]2 存在，则称
E
[
X
−
E
(
X
)
]
2
E[X - E(X)]^2
E[X−E(X)]2 是随机变量 X 的方差。记为
D
(
X
)
,
D
X
,
V
a
r
(
X
)
,
V
a
r
X
D(X), DX, Var(X), VarX
D(X),DX,Var(X),VarX
D
X
=
{
∑
k
=
1
+
∞
[
x
k
−
E
(
X
)
]
2
p
k
i
f
X
为
离
散
变
量
∫
−
∞
+
∞
[
x
−
E
(
X
)
]
2
f
(
x
)
d
x
i
f
f
(
x
)
为
X
的
密
度
函
数
∫
−
∞
+
∞
[
x
−
E
(
X
)
]
2
d
F
(
x
)
i
f
F
(
x
)
为
X
的
分
布
函
数
DX = \begin{cases}\sum_{k=1}^{+\infty}[x_k - E(X)]^2p_k & if \ X 为离散变量 \\ \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(X)]^2f(x)dx & if \ f(x)为X的密度函数 \\ \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(X)]^2dF(x) & if \ F(x) 为X的分布函数 \end{cases}
DX=⎩⎪⎨⎪⎧∑k=1+∞[xk−E(X)]2pk∫−∞+∞[x−E(X)]2f(x)dx∫−∞+∞[x−E(X)]2dF(x)ifX为离散变量iff(x)为X的密度函数ifF(x)为X的分布函数
证明
D
X
=
E
(
X
2
)
−
(
E
X
)
2
DX = E(X^2) - (EX)^2
DX=E(X2)−(EX)2。
D
X
=
E
[
X
−
E
(
X
)
]
2
=
E
[
X
2
−
2
X
E
(
X
)
+
(
E
X
)
2
]
=
E
(
X
2
)
−
2
E
(
X
)
E
(
X
)
+
(
E
X
)
2
=
E
(
X
2
)
−
(
E
X
)
2
\begin{aligned}DX &= E[X - E(X)]^2 \\ &=E[X^2 -2XE(X) + (EX)^2] \\ &= E(X^2) - 2E(X)E(X) + (EX)^2 \\ &= E(X^2) - (EX)^2 \end{aligned}
DX=E[X−E(X)]2=E[X2−2XE(X)+(EX)2]=E(X2)−2E(X)E(X)+(EX)2=E(X2)−(EX)2
首先有一点应该明白，
E
X
EX
EX 是指随机变量的期望，也就是说它是一个实数，而我们知道
E
(
C
)
=
C
E(C) = C
E(C)=C, 因此也就有
E
E
X
=
E
X
EEX = EX
EEX=EX, 因此推导上面的公式应该首先要明白，那些是随机变量，那些是实数。
试列举一些常见的概率分布的方差。
X
∼
(
0
−
1
)
:
D
X
=
p
(
1
−
p
)
X \sim (0-1): DX = p(1-p)
X∼(0−1):DX=p(1−p)
X
∼
B
(
n
,
p
)
:
D
X
=
n
p
(
1
−
p
)
X \sim B(n, p) : DX = np(1-p)
X∼B(n,p):DX=np(1−p)
X
∼
P
(
λ
)
:
D
X
=
λ
X \sim P(\lambda) : DX = \lambda
X∼P(λ):DX=λ
几
何
分
布
：
D
X
=
1
−
p
p
2
几何分布：DX = \frac{1-p}{p^2}
几何分布：DX=p21−p
X
∼
U
(
a
,
b
)
:
D
X
=
(
b
−
a
)
2
12
X \sim U(a, b) : DX = \frac{(b-a)^2}{12}
X∼U(a,b):DX=12(b−a)2
X
∼
N
(
μ
,
σ
2
)
:
D
X
=
σ
2
X \sim N(\mu, \sigma^2) : DX = \sigma^2
X∼N(μ,σ2):DX=σ2
X
∼
Γ
(
α
,
β
)
:
D
X
=
α
β
2
X \sim \Gamma(\alpha, \beta) : DX = \frac{\alpha}{\beta^2}
X∼Γ(α,β):DX=β2α
如果，
X
1
,
X
2
,
⋯
 
,
X
n
X_1, X_2,\cdots,X_n
X1,X2,⋯,Xn 相互独立，那么，
D
(
a
1
X
1
+
a
2
X
2
+
⋯
+
a
n
X
n
)
=
?
D(a_1X_1 + a_2X_2 + \cdots + a_nX_n) = ?
D(a1X1+a2X2+⋯+anXn)=?。
D
(
a
1
X
1
+
a
2
X
2
+
⋯
+
a
n
X
n
)
=
a
1
2
D
X
1
+
a
2
2
D
X
2
+
⋯
+
a
n
2
D
X
n
D(a_1X_1 + a_2X_2 + \cdots + a_nX_n) = a_1^2DX_1 + a_2^2DX_2 + \cdots + a_n^2DX_n
D(a1X1+a2X2+⋯+anXn)=a12DX1+a22DX2+⋯+an2DXn
对随机变量的标准化应该怎么进行？
X
∗
=
X
−
E
(
X
)
D
X
X^* = \frac{X - E(X)}{\sqrt{DX}}
X∗=DXX−E(X)
变异系数是什么？
我们知道方差是用来刻画数据的离散程度的，然而方差智能刻画数据离散程度大的绝对值，无法刻画相对值。
变异系数就是用来刻画离散程度的相对值。
δ
X
=
D
(
X
)
E
(
X
)
\delta_X = \frac{\sqrt{D(X)}}{E(X)}
δX=E(X)D(X)
