相信每位刚接触神经网络的时候都会先碰到BP算法的问题，如何形象快速地理解BP神经网络就是我们学习的高级乐趣了（画外音：乐趣？你在跟我谈乐趣？）
本篇博文就是要简单粗暴地帮助各位童鞋快速入门采取BP算法的神经网络。
BP神经网络是怎样的一种定义？看这句话：一种按“误差逆传播算法训练”的多层前馈网络。
BP的思想就是：利用输出后的误差来估计输出层前一层的误差，再用这层误差来估计更前一层误差，如此获取所有各层误差估计。这里的误差估计可以理解为某种偏导数，我们就是根据这种偏导数来调整各层的连接权值，再用调整后的连接权值重新计算输出误差。直到输出的误差达到符合的要求或者迭代次数溢出设定值。
说来说去，“误差”这个词说的很多嘛，说明这个算法是不是跟误差有很大的关系？
没错，BP的传播对象就是“误差”，传播目的就是得到所有层的估计误差。
它的学习规则是：使用最速下降法，通过反向传播（就是一层一层往前传）不断调整网络的权值和阈值，最后使全局误差系数最小。
它的学习本质就是：对各连接权值的动态调整。
拓扑结构如上图：输入层（input），隐藏层（hide layer），输出层（output）
BP网络的优势就是能学习和储存大量的输入输出的关系，而不用事先指出这种数学关系。那么它是如何学习的？
BP利用处处可导的激活函数来描述该层输入与该层输出的关系，常用S型函数δ来当作激活函数。
我们现在开始有监督的BP神经网络学习算法：
1、正向传播得到输出层误差e
=>输入层输入样本=>各隐藏层=>输出层
2、判断是否反向传播
=>若输出层误差与期望不符=>反向传播
3、误差反向传播
=>误差在各层显示=>修正各层单元的权值，直到误差减少到可接受程度。
算法阐述起来比较简单，接下来通过数学公式来认识BP的真实面目。
假设我们的网络结构是一个含有N个神经元的输入层，含有P个神经元的隐层，含有Q个神经元的输出层。
这些变量分别如下：
认识好以上变量后，开始计算：
一、用（-1，1）内的随机数初始化误差函数，并设定精度ε，最多迭代次数M
二、随机选取第k个输入样本及对应的期望输出（表示训练的样本共m个，每次样本代入都要反向修正参数。）
重复以下步骤至误差达到要求：
三、计算隐含层各神经元的输入和输出
四、计算误差函数e对输出层各神经元的偏导数，根据输出层期望输出和实际输出以及输出层输入等参数计算。
五、计算误差函数对隐藏层各神经元的偏导数，根据后一层（这里即输出层）的灵敏度（稍后介绍灵敏度）δo(k)，后一层连接权值w，以及该层的输入值等参数计算
六、利用第四步中的偏导数来修正输出层连接权值
七、利用第五步中的偏导数来修正隐藏层连接权值
八、计算全局误差（m个样本，q个类别）
比较具体的计算方法介绍好了，接下来用比较简洁的数学公式来大致地概括这个过程，相信看完上述的详细步骤都会有些了解和领悟。
假设我们的神经网络是这样的，此时有两个隐藏层。
我们先来理解灵敏度是什么？
看下面一个公式：
这个公式是误差对b的一个偏导数，这个b是怎么？它是一个基，灵敏度δ就是误差对基的变化率，也就是导数。
因为∂u/∂b=1，所以∂E/∂b=∂E/∂u=δ，也就是说bias基的灵敏度∂E/∂b=δ等于误差E对一个节点全部输入u的导数∂E/∂u。
也可以认为这里的灵敏度等于误差E对该层输入的导数，注意了，这里的输入是上图U级别的输入，即已经完成层与层权值计算后的输入。
每一个隐藏层第l层的灵敏度为：
这里的“◦”表示每个元素相乘，不懂的可与上面详细公式对比理解
而输出层的灵敏度计算方法不同，为：
而最后的修正权值为灵敏度乘以该层的输入值，注意了，这里的输入可是未曾乘以权值的输入，即上图的Xi级别。
对于每一个权值(W)ij都有一个特定的学习率ηIj，由算法学习完成。
关于收敛：
收敛和迭代算法有关。
反向传播算法是定义一个误差er（往往是输出结果与预想结果之间的某个范数），然后求出满足误差极小的权向量。如果把误差看成一个连续函数（泛函）的话，求对权向量各分量的偏导为0即可，但是实际上它是离散的，所以我们需要用迭代来求最小梯度。
如果是新定义算法的话理论上的收敛要证明，可以证明它在迭代次数趋近无穷的时候等于某一解，也可以证明它满足李普希兹条件（就是带有完备范数和李普希兹常数的那个），这种情形下我们叫做收敛，要是用已有算法或者干脆就是BP算法的时候不需要你证明。理论上不收敛的情况是这样，当迭代次数趋近无穷的时候，权向量的解不唯一。
实际上的收敛是这样，给定一个最大迭代次数n，一个误差限erl，反向传播算法应该很容易找，我不往上写了，每一步权值修正都会使er减小，直观的看就是权向量的分量沿着梯度减小的方向在前进，虽然理论上样本足够大并且n趋于无穷的时候会收敛，但是实际上有可能出现当迭代到第n次，误差er依然大于误差限erl的情况，也就是说我们没有解出来满足要求的权向量，所以网络训练失败，叫做不收敛。当然，也可以使用梯度限来作为迭代终止的条件，这种情况下不收敛就是梯度在迭代了n次以后没有小于某一值，从而没有求出满足要求的权向量；收敛就是求出了满足梯度限的权向量。
关于迭代的问题：
并不是输入一个样本就反向迭代一次，而是把P个行本都考虑进去，求出全局误差，然后再反向迭代。
原文地址：http://blog.csdn.net/lzhalan2016/article/details/52332657
