2022年12月25日 nige in Tongji University
#elecEngeneer
降压斩波 / 升流变换器，理想情况下：
V
o
=
D
V
i
V_o=DV_i
Vo=DViD：占空比，
D
∈
(
0
,
1
]
D\in (0, 1]
D∈(0,1]。
BUCK电路控制负载两端的电压，达到降低平均电压的效果。图中的 VD 指二极管。
连续电流模式：CCM。
分析假设：
分析手段：（适用于稳态分析）。
传递能量的器件是电感。从电感电压->电感电流->电容电流->电容电压->开关电压->开关电流->二极管电压->二极管电流，最后画出一个开关周期中各电压电流的波形图。
BUCK电路的两种工作状态：
电感电压在1状态下有：
v
L
=
V
i
−
V
o
(1)
v_L=V_i-V_o\tag{1}
vL=Vi−Vo(1)在2状态下有：
v
L
=
−
V
o
(2)
v_L=-V_o\tag{2}
vL=−Vo(2)通过电感磁链平衡，开关周期内电感电压平均值为0，得到输入电压与输出电压的关系：
D
T
s
(
V
i
−
V
o
)
=
(
1
−
D
)
T
s
V
o
D
V
i
−
D
V
o
=
V
o
−
D
V
o
V
o
=
D
V
i
\begin{align*} DT_s(V_i-V_o) &= (1-D)T_sV_o \\ DV_i-DV_o &= V_o-DV_o \\ V_o&= DV_i\tag{3} \end{align*}
DTs(Vi−Vo)DVi−DVoVo=(1−D)TsVo=Vo−DVo=DVi(3)电感电流的平均值应该为输出电流（负载电流）
I
R
I_R
IR 的平均值：
I
L
=
⟨
i
L
⟩
=
I
R
=
V
o
/
R
(4)
I_{L}=\langle i_L\rangle=I_R=V_o/R\tag{4}
IL=⟨iL⟩=IR=Vo/R(4)电感电流1状态下的斜率：
L
d
i
L
d
t
=
v
L
d
i
L
d
t
=
V
i
−
V
o
L
\begin{align*} L\frac{di_L}{dt} &=v_L \\ \frac{di_L}{dt} &=\frac{V_i-V_o}{L}\tag{5} \end{align*}
LdtdiLdtdiL=vL=LVi−Vo(5)在2状态下的斜率：
d
i
L
d
t
=
−
V
o
L
(6)
\frac{di_L}{dt} =-\frac{V_o}{L}\tag{6}
dtdiL=−LVo(6)由于电容电荷平衡，电容电流平均值为0，观察电路有：
i
C
=
i
L
−
I
R
(7)
i_C=i_L-I_R\tag{7}
iC=iL−IR(7)由于输出电流不变，电容电流仅仅是电感电流去掉直流分量。
电感电流的波动=电容电流的波动：
Δ
i
C
=
Δ
i
L
=
i
L
max
−
i
L
min
=
1
L
∫
0
D
T
s
(
V
i
−
V
o
)
d
t
=
(
V
i
−
V
o
)
D
T
s
L
(8)
\Delta i_C=\Delta i_L=i_{L\max}-i_{L\min}=\frac 1 L\int_0^{DT_s}(V_i-V_o)\ dt=\frac{(V_i-V_o)DT_s}{L}\tag{8}
ΔiC=ΔiL=iLmax−iLmin=L1∫0DTs(Vi−Vo) dt=L(Vi−Vo)DTs(8)纹波幅值与负载电阻
R
R
R 无关。
电容电压的平均值为
V
o
V_o
Vo ，波动可以通过对电容电流大于0部分的积分得到：
C
d
u
C
d
t
=
i
C
C\frac{du_C}{dt}=i_C
CdtduC=iC
![[buck_ic.PNG|450]]
Δ
u
C
=
1
C
∫
1
2
D
T
s
D
T
s
+
1
2
(
1
−
D
)
T
s
i
C
d
t
=
[
1
2
D
T
s
+
1
2
(
1
−
D
)
T
s
]
⋅
1
2
Δ
i
C
⋅
1
2
=
T
s
Δ
i
L
8
C
Δ
u
C
=
(
V
i
−
V
o
)
D
T
s
2
8
C
L
\begin{align*} \Delta u_C &=\frac 1 C\int_{\frac 1 2 DT_s}^{DT_s+\frac1 2(1-D)T_s}i_C\ dt \\ &=[\frac 1 2DT_s+\frac1 2(1-D)T_s]\cdot \frac 1 2 \Delta i_C\cdot \frac 1 2 \\ &=\frac{T_s\Delta i_L}{8C} \\ \\ \Delta u_C&=\frac{(V_i-V_o)DT_s^2}{8CL} \tag{9} \end{align*}
ΔuCΔuC=C1∫21DTsDTs+21(1−D)TsiC dt=[21DTs+21(1−D)Ts]⋅21ΔiC⋅21=8CTsΔiL=8CL(Vi−Vo)DTs2(9)
发现理想情况 纹波幅值与负载电阻 R 无关 。
对于理想开关管S电压，导通压降为0，关断时承受输入电压；
对于理想开关管S电流，导通时为电感导通电流，关断时为0；
对于理想二极管D电压，状态1承受负输入电压，状态2导通电压为0；
对于理想二极管D电流，状态1关断为0，状态2为电感续流电流；
非连续电流模式：DCM。
由于纹波幅值与负载电阻 R 无关，随着负载电阻的增大，纹波平行下移。负载电阻达到一定程度，电感电流会到0，为临界断续模式。再增加负载则处于断续模式，最小电流为0。此时电感已经释放完能量，但开关仍未导通。
令无量纲参数
K
=
2
L
R
T
s
K=\frac{ 2L}{ RT_s}
K=RTs2L ，模式边界上的 K 临界值
K
c
r
i
t
(
D
)
=
1
−
D
K_{crit}(D)=1-D
Kcrit(D)=1−D，有：
K
<
K
c
r
i
t
(
D
)
K<K_{crit}(D)
K<Kcrit(D)为非连续导电模式。若以D为横轴，K为纵轴，则
K
c
r
i
t
(
D
)
K_{crit}(D)
Kcrit(D) 确定了一条曲线，若电路参数确定，则 K 确定，由 K 的值画条横线可以确定临界工作点（D,K）。曲线高于该 K 值的部分对应的横坐标占空比就是断续模式的占空比，反之是连续模式的占空比。
同理，也可以用负载电阻、负载电感等确定临界条件，如解出： R c r i t = 2 L ( 1 − D ) T s R_{crit}=\frac{2L}{(1-D)T_s} Rcrit=(1−D)Ts2L由于 1-D 最大为1，所以最小负载 R = 2 L T s R=\frac{ 2L}{ T_s} R=Ts2L 确定， 小于该负载 buck 在任何占空比下都处于连续模式。
从电感电压->电感电流->电容电流->电容电压->开关电压->开关电流->二极管电压->二极管电流，最后画出一个开关周期中各电压电流的波形图。
断续下的工作状态：
令
D
1
T
s
D_1T_s
D1Ts 为开关管导通时间，
D
2
T
s
D_2T_s
D2Ts 为开关管关闭且电感续流时间时间，
D
3
T
s
D_3T_s
D3Ts 为电感断续时间。
D
1
D_1
D1 是已知的。
电感电压在
(
D
1
+
D
2
)
T
s
(D_1+D_2)T_s
(D1+D2)Ts 内和连续模式一样，断续时电感电压为0。
电感电流在
(
D
1
+
D
2
)
T
s
(D_1+D_2)T_s
(D1+D2)Ts 内和连续模式一样，断续时电感电流为0。
输出电流：
I
R
=
V
o
R
=
i
L
−
i
C
\begin{align*} I_R=\frac{V_o}{R}=i_L-i_C \end{align*}
IR=RVo=iL−iC电容电流波形仍为电感电流向下平移了
I
R
I_R
IR 的波形：
![[buck_DCM1.PNG|700]]
由电容电荷平衡有电容电流平均值为0，所以电感电流一个周期内的平均值（直流分量）即为输出负载电流：
i
L
m
a
x
(
D
1
+
D
2
)
T
s
2
=
I
R
T
s
\begin{align*} \frac{i_{Lmax}(D_1+D_2)T_s}{2}&=I_RT_s \end{align*}
2iLmax(D1+D2)Ts=IRTs
由于：
i
L
m
a
x
=
Δ
i
L
=
1
L
∫
0
D
1
T
s
(
V
i
−
V
o
)
d
t
=
1
L
D
1
T
s
(
V
i
−
V
o
)
\begin{align*} i_{Lmax}=\Delta i_L=\frac 1 L\int_{0}^{D_1T_s}(V_i-V_o)\ dt = \frac 1 LD_1T_s(V_i-V_o) \end{align*}
iLmax=ΔiL=L1∫0D1Ts(Vi−Vo) dt=L1D1Ts(Vi−Vo)
所以：
I
R
=
D
1
(
D
1
+
D
2
)
(
V
i
−
V
o
)
T
s
2
L
k
=
1
−
D
1
+
D
2
2
\begin{align*} I_R&=\frac{D_1(D_1+D_2)(V_i-V_o)T_s}{2L} \tag{12} \\ \\ k& =1-\frac{D_1+D_2}{2}\tag{13} \end{align*}
IRk=2LD1(D1+D2)(Vi−Vo)Ts=1−2D1+D2(12)(13)
由电感秒伏平衡有：
D
1
T
s
(
V
i
−
V
o
)
=
D
2
T
s
V
o
D
2
=
D
1
(
V
i
−
V
o
)
V
o
\begin{align*} D_1T_s(V_i-V_o)& =D_2T_sV_o \\ \\ D_2 &=\frac{D_1(V_i-V_o)}{V_o}\tag{14} \end{align*}
D1Ts(Vi−Vo)D2=D2TsVo=VoD1(Vi−Vo)(14)
将式（14）和无量纲参数 K 代入（12）有断续模式电压增益：
V
0
R
=
D
1
2
(
1
+
(
V
i
−
V
o
)
V
o
)
(
V
i
−
V
o
)
T
s
2
L
V
o
V
i
=
2
1
+
1
+
4
K
D
1
2
=
D
1
D
1
+
D
2
\begin{align*} \frac{V_0}{R}&=\frac{D_1^2(1+\frac{(V_i-V_o)}{V_o})(V_i-V_o)T_s}{2L} \\ \\ \frac{V_o}{V_i}&=\frac 2{1+\sqrt{1+\frac{4K}{D_1^2}}}=\frac{D_1}{D_1+D_2}\tag{15} \end{align*}
RV0ViVo=2LD12(1+Vo(Vi−Vo))(Vi−Vo)Ts=1+1+D124K
2=D1+D2D1(15)
由于：
D
1
+
D
2
<
1
D
1
D
1
+
D
2
>
D
1
\begin{align*} D_1+D_2&\lt 1 \\\\ \frac{D_1}{D_1+D_2}&\gt D_1 \end{align*}
D1+D2D1+D2D1<1>D1
断续模式下输出电压是升高的。
同时发现输出电压不仅与占空比有关，还与电路参数有关。若把电压增益用 M 表示，代入无量纲参数 K，有：
M
=
{
D
1
,
K
>
K
c
r
i
t
2
1
+
1
+
4
K
D
1
2
,
K
<
K
c
r
i
t
(16)
M= \begin{cases} D_1 & ,K\gt K_{crit} \\[3ex] \frac {\large 2}{ \large 1+\sqrt{1+\frac{ 4K}{ D_1^2}}} & \ ,K\lt K_{crit} \end{cases} \tag{16}
M=⎩
⎨
⎧D11+1+D124K
2,K>Kcrit ,K<Kcrit(16)
D
1
=
M
K
1
−
M
D
2
=
K
(
1
−
M
)
(17)
\begin{align*} D_1&=M\sqrt{\frac{K}{1-M}} \\ \\ D_2&=\sqrt{K(1-M)} \end{align*} \tag{17}
D1D2=M1−MK
=K(1−M)
(17)
输出电压纹波：
Δ
u
C
=
1
C
∫
(
1
−
k
)
D
1
T
s
(
D
1
+
k
D
2
)
T
s
i
C
d
t
=
1
C
k
(
D
1
+
D
2
)
(
i
L
m
a
x
−
I
R
)
T
s
2
Δ
u
C
=
[
2
−
(
D
1
+
D
2
)
]
2
4
C
⋅
I
R
⋅
T
s
\begin{align*} \Delta u_C =\frac 1 C\int_{(1-k)D_1T_s}^{(D_1+kD_2)T_s}i_C\ dt &=\frac 1 C\frac{k(D_1+D_2)(i_{Lmax}-I_R)T_s}{2}\\ \\ \Delta u_C&=\frac{[2-(D_1+D_2)]^2}{4C}\cdot I_R\cdot T_s \tag{18} \end{align*}
ΔuC=C1∫(1−k)D1Ts(D1+kD2)TsiC dtΔuC=C12k(D1+D2)(iLmax−IR)Ts=4C[2−(D1+D2)]2⋅IR⋅Ts(18)
设计占空比 -> 设计开关频率 -> 选择电感 -> 求输出电流、电流纹波 -> 选择电容。
由电感电流临界断续条件有：
I
R
=
V
o
R
>
1
2
Δ
i
L
=
(
V
i
−
V
o
)
D
T
s
2
L
I_R=\frac{V_o}{R}\gt\frac 1 2\Delta i_L=\frac{(V_i-V_o)DT_s}{2L}
IR=RVo>21ΔiL=2L(Vi−Vo)DTs所以保证电流连续的最小电感：
L
>
(
V
i
−
V
o
)
D
T
s
R
2
V
o
=
(
1
−
D
)
R
T
s
2
(19)
L\gt\frac{(V_i-V_o)DT_sR}{2V_o}=\frac{(1-D)RT_s}{2}\tag{19}
L>2Vo(Vi−Vo)DTsR=2(1−D)RTs(19)
若要通过纹波大小确定电感，则：
L
=
(
V
i
−
V
o
)
D
T
s
Δ
i
L
(20)
L=\frac{(V_i-V_o)DT_s}{\Delta i_L}\tag{20}
L=ΔiL(Vi−Vo)DTs(20)
确定电感后，连续模式下由输出电压纹波（9）大小确定电容：
C
=
(
1
−
D
)
T
s
2
8
L
(
Δ
V
o
/
V
o
)
(21)
C=\frac{(1-D)T_s^2}{8L(\Delta V_o/V_o)}\tag{21}
C=8L(ΔVo/Vo)(1−D)Ts2(21)
断续模式下（
D
3
T
s
D_3T_s
D3Ts 时间段）器件的受压并未升高，所以按照了连续模式选择即可。
实际上为[[1. DC-DC分析概述]]中的时间平均等效电路法。建立的模型为 CCM理想大信号平均模型。在理想BUCK电路上电感串联一电阻
R
L
R_L
RL ，作为电感绕组电阻。
平均电感电压：
⟨
v
L
⟩
=
0
=
D
V
i
−
⟨
i
L
⟩
R
L
−
V
C
(22)
\langle v_L \rangle=0=DV_i-\langle i_L\rangle R_L-V_C\tag{22}
⟨vL⟩=0=DVi−⟨iL⟩RL−VC(22)
平均电容电流：
⟨
i
C
⟩
=
0
=
⟨
i
L
⟩
−
V
C
R
(23)
\langle i_C \rangle=0=\langle i_L \rangle-\frac{V_C}{R}\tag{23}
⟨iC⟩=0=⟨iL⟩−RVC(23)
把
D
V
i
DV_i
DVi 看成受控源可以画出直流大信号平均等效电路图：
为了构成直流变压器，需要补充原边，由功率平衡：
V
i
I
i
=
V
o
I
o
=
D
V
i
I
o
V_iI_i=V_oI_o=DV_iI_o
ViIi=VoIo=DViIo
所以：
I
i
=
D
I
o
=
D
⟨
i
L
⟩
(24)
I_i=DI_o=D\langle i_L \rangle\tag{24}
Ii=DIo=D⟨iL⟩(24)
在原边补充一受控电流源即可构成BUCK等效直流变压器电路：
电容电压：
V
C
=
D
V
i
⋅
R
R
+
R
L
(25)
V_C=DV_i\cdot\frac{R}{R+R_L}\tag{25}
VC=DVi⋅R+RLR(25)
考虑电感铜损耗后的效率：
η
=
P
o
u
t
P
i
n
=
V
C
⟨
i
L
⟩
V
i
D
⟨
i
L
⟩
=
R
R
+
R
L
(26)
\eta=\frac{P_{out}}{P_{in}}=\frac{V_C\langle i_L\rangle}{V_iD\langle i_L\rangle}=\frac{R}{R+R_L}\tag {26}
η=PinPout=ViD⟨iL⟩VC⟨iL⟩=R+RLR(26)
为方便后续分析，可以将两个受控源连在一起。
考虑开关管的导通电阻
R
S
R_{S}
RS 、二极管器件的导通压降
V
F
V_{F}
VF 和等效平均电阻电阻
R
F
R_F
RF、电感电容等效串联电阻
R
L
R_L
RL、
R
C
R_C
RC。
非理想BUCK电路：
电感电压：
{
v
L
=
V
i
−
V
o
−
(
R
S
+
R
L
)
I
R
,
开关
S
导通
v
L
=
−
(
V
o
+
V
F
+
(
R
F
+
R
L
)
I
R
)
,
开关
S
关闭
\begin{cases} v_L=V_i-V_o-(R_S+R_L)I_R & \ , 开关S导通 \\[3ex] v_L=-(V_o+V_F+(R_F+R_L)I_R)& \ , 开关S关闭 \end{cases}
⎩
⎨
⎧vL=Vi−Vo−(RS+RL)IRvL=−(Vo+VF+(RF+RL)IR) ,开关S导通 ,开关S关闭
电感秒伏平衡
D
⋅
[
V
i
−
V
o
−
(
R
S
+
R
L
)
I
R
]
=
(
1
−
D
)
⋅
[
V
o
+
V
F
+
(
R
F
+
R
L
)
I
R
]
D\cdot[V_i-V_o-(R_S+R_L)I_R]=(1-D)\cdot[V_o+V_F+(R_F+R_L)I_R]
D⋅[Vi−Vo−(RS+RL)IR]=(1−D)⋅[Vo+VF+(RF+RL)IR]
解得：
D
=
V
o
+
V
F
+
(
R
F
+
R
L
)
I
R
V
i
+
V
F
+
(
R
F
−
R
S
)
I
R
(27)
D=\frac{V_o+V_F+(R_F+R_L)I_R}{V_i+V_F+(R_F-R_S)I_R}\tag{27}
D=Vi+VF+(RF−RS)IRVo+VF+(RF+RL)IR(27)
代入
I
R
=
V
o
/
R
I_R=V_o/R
IR=Vo/R 有：
V
o
=
[
D
V
i
−
(
1
−
D
)
V
F
]
⋅
R
R
+
R
L
+
D
R
S
+
(
1
−
D
)
R
F
(28)
V_o=[DV_i-(1-D)V_F]\cdot\frac{R}{R+R_L+DR_S+(1-D)R_F}\tag{28}
Vo=[DVi−(1−D)VF]⋅R+RL+DRS+(1−D)RFR(28)
观察开关网络部分，得到电流关系：
⟨
i
L
⟩
=
⟨
i
S
⟩
D
=
⟨
i
D
i
o
d
e
⟩
1
−
D
=
V
o
R
\langle i_L\rangle=\frac{\langle i_S\rangle}{D}=\frac{\langle i_{Diode}\rangle}{1-D}=\frac{V_o}{R}
⟨iL⟩=D⟨iS⟩=1−D⟨iDiode⟩=RVo
和理想时一样：
用平均电流来计算有效值，有：
I
S
r
m
s
=
D
T
s
⟨
i
L
⟩
2
/
T
s
=
D
⋅
⟨
i
L
⟩
=
⟨
i
S
⟩
D
=
D
⋅
⟨
i
D
i
o
d
e
⟩
1
−
D
I_{Srms}=\sqrt{DT_s\langle i_L\rangle^2/T_s}=\sqrt D\cdot \langle i_L\rangle= \frac{\langle i_S\rangle}{\sqrt D}=\frac{\sqrt D\cdot \langle i_{Diode}\rangle}{1-D}
ISrms=DTs⟨iL⟩2/Ts
=D
⋅⟨iL⟩=D
⟨iS⟩=1−DD
⋅⟨iDiode⟩
能量守恒平均，得到开关支路上的等效电阻：
P
S
=
R
S
I
S
r
m
s
2
=
D
R
S
⟨
i
L
⟩
2
=
(
R
S
D
)
⟨
i
S
⟩
2
P_{S}=R_SI_{Srms}^2=DR_S\langle i_L\rangle^2=(\frac{R_S}{D})\langle i_S\rangle^2
PS=RSISrms2=DRS⟨iL⟩2=(DRS)⟨iS⟩2
R
S
′
=
R
S
D
(29)
R_S'=\frac{R_S}{D}\tag{29}
RS′=DRS(29)
同理：
I
D
r
m
s
=
(
1
−
D
)
T
s
⟨
i
L
⟩
2
/
T
s
=
1
−
D
⋅
⟨
i
L
⟩
=
⟨
i
S
⟩
1
−
D
D
=
⟨
i
D
i
o
d
e
⟩
1
−
D
I_{Drms}=\sqrt{(1-D)T_s\langle i_L\rangle^2/T_s}=\sqrt {1-D}\cdot \langle i_L\rangle= \frac{\langle i_S\rangle\sqrt {1-D}}{D}=\frac{ \langle i_{Diode}\rangle}{\sqrt{1-D}}
IDrms=(1−D)Ts⟨iL⟩2/Ts
=1−D
⋅⟨iL⟩=D⟨iS⟩1−D
=1−D
⟨iDiode⟩
P
D
i
o
d
e
=
R
F
I
D
r
m
s
2
=
(
1
−
D
)
R
F
⟨
i
L
⟩
2
=
(
R
F
1
−
D
)
⟨
i
D
i
o
d
e
⟩
2
P_{Diode}=R_FI_{Drms}^2=(1-D)R_F\langle i_L\rangle^2=(\frac{R_F}{1-D})\langle i_{Diode}\rangle^2
PDiode=RFIDrms2=(1−D)RF⟨iL⟩2=(1−DRF)⟨iDiode⟩2
R
F
′
=
R
F
1
−
D
(30)
R_F'=\frac{R_F}{1-D}\tag{30}
RF′=1−DRF(30)
效率：
η
=
P
o
u
t
P
i
n
=
I
R
V
o
I
i
V
i
=
V
o
D
V
i
=
D
V
i
−
(
1
−
D
)
V
F
D
V
i
⋅
R
R
+
R
L
+
D
R
S
+
(
1
−
D
)
R
F
=
1
1
+
R
E
R
+
(
1
−
D
)
V
F
V
o
(31)
\begin{align*} \eta=\frac{P_{out}}{P_{in}}&=\frac{I_RV_o}{I_iV_i} =\frac{V_o}{DV_i} \\ \\ &=\frac{DV_i-(1-D)V_{F}}{DV_i}\cdot\frac{R}{R+R_L+DR_S+(1-D)R_F}\\ \\ &=\frac{1}{1+\frac{ R_E }{ R }+\frac{ (1-D)V_F }{ V_o }} \end{align*} \tag{31}
η=PinPout=IiViIRVo=DViVo=DViDVi−(1−D)VF⋅R+RL+DRS+(1−D)RFR=1+RRE+Vo(1−D)VF1(31)
显然效率要高则
R
E
R_E
RE，
V
F
V_F
VF 要尽量小，其中：
R
E
=
R
L
+
D
R
S
+
(
1
−
D
)
R
F
(32)
R_E=R_L+DR_S+(1-D)R_F\tag{32}
RE=RL+DRS+(1−D)RF(32)
模仿CCM下的理想稳态分析可得到纹波的计算公式：
Δ
i
L
=
[
V
i
−
I
R
(
R
S
+
R
L
)
−
V
o
]
D
T
s
L
(33)
\Delta i_L=\frac{[V_i-I_R(R_{S}+R_L)-V_o]DT_s}{L}\tag{33}
ΔiL=L[Vi−IR(RS+RL)−Vo]DTs(33)
由于直流稳态情况，流过滤波电流支路的电流为电感电流交流分量，平均值为0
且电容电流为三角波，幅度为
Δ
i
L
/
2
\Delta i_L / 2
ΔiL/2 ，三角波有效值为幅值除以根号3，所以电容电流有效值
I
C
r
m
s
=
Δ
i
L
2
3
=
V
o
(
1
−
D
)
T
s
2
3
L
(34)
I_{Crms}=\frac{\Delta i_L}{2\sqrt3}=\frac{V_o(1-D)T_s}{2\sqrt3L}\tag{34}
ICrms=23
ΔiL=23
LVo(1−D)Ts(34)
滤波电容功率损耗：
P
R
c
=
R
C
Δ
i
L
2
12
=
R
C
V
o
2
(
1
−
D
)
2
T
s
2
12
L
2
(35)
P_{Rc}=\frac{R_C\Delta i_L^2}{12}=\frac{R_CV_o^2(1-D)^2T_s^2}{12L^2}\tag{35}
PRc=12RCΔiL2=12L2RCVo2(1−D)2Ts2(35)
由式（29、30）可得 CCM非理想大信号平均模型：
观察式（28，32），由分压公式，
将
V
F
V_F
VF 写至电感后，可得CCM等效大信号平均模型：
电容支路看作开路，电感看作短路，得到DC电路模型：
对于BUCK电路的开关网络部分，在动态情况下，占空比输入可能存在微小扰动，所以三端开关网络的输入、输出部分也存在微小扰动，
即
v
a
p
=
V
a
p
+
v
^
a
p
v_{ap}=V_{ap}+\hat v_{ap}
vap=Vap+v^ap，
i
a
=
I
a
+
i
^
a
i_{a}=I_{a}+\hat i_{a}
ia=Ia+i^a，
i
c
=
I
c
+
i
^
c
i_{c}=I_{c}+\hat i_{c}
ic=Ic+i^c
令含扰动的占空比为：
d
=
D
+
d
^
d=D+\hat d
d=D+d^
代入理想BUCK开关网络变比关系式有：
i
a
=
I
a
+
i
^
a
=
(
D
+
d
^
)
(
I
c
+
i
^
c
)
=
D
I
c
+
d
^
I
c
+
D
i
^
c
+
d
^
i
^
c
v
c
p
=
V
c
p
+
v
^
c
p
=
(
D
+
d
^
)
(
V
a
p
+
v
^
a
p
)
=
D
V
a
p
+
d
^
V
a
p
+
D
v
^
a
p
+
d
^
v
^
a
p
\begin{align*} i_a=I_a+\hat i_a=(D+\hat d)(I_{c}+\hat i_{c})&=DI_c+\hat dI_c+D\hat i_c+\hat d \ \hat i_c \\ \\ v_{cp}=V_{cp}+\hat v_{cp}=(D+\hat d)(V_{ap}+\hat v_{ap})&=DV_{ap}+\hat dV_{ap}+D\hat v_{ap}+\hat d \ \hat v_{ap} \end{align*}
ia=Ia+i^a=(D+d^)(Ic+i^c)vcp=Vcp+v^cp=(D+d^)(Vap+v^ap)=DIc+d^Ic+Di^c+d^ i^c=DVap+d^Vap+Dv^ap+d^ v^ap
若扰动量远远小于平均值，则去掉小量乘积（高阶小量），线性化得到：
i
a
=
I
a
+
i
^
a
=
(
D
+
d
^
)
(
I
c
+
i
^
c
)
=
D
(
I
c
+
i
^
c
)
+
d
^
I
c
v
c
p
=
V
c
p
+
v
^
c
p
=
(
D
+
d
^
)
(
V
a
p
+
v
^
a
p
)
=
D
(
V
a
p
+
v
^
a
p
)
+
d
^
V
a
p
\begin{align*} i_a=I_a+\hat i_a=(D+\hat d)(I_{c}+\hat i_{c})&=D(I_c+\hat i_c)+\hat dI_c \tag{36} \\ \\ v_{cp}=V_{cp}+\hat v_{cp}=(D+\hat d)(V_{ap}+\hat v_{ap})&=D(V_{ap}+\hat v_{ap})+\hat dV_{ap} \tag{37} \end{align*}
ia=Ia+i^a=(D+d^)(Ic+i^c)vcp=Vcp+v^cp=(D+d^)(Vap+v^ap)=D(Ic+i^c)+d^Ic=D(Vap+v^ap)+d^Vap(36)(37)
根据上两式可以得到BUCK开关网络在CCM下的小信号等效电路模型：
从而得到非理想的CCM小信号线性电路模型：
注意输入量是小量，且由于去掉了直流量，
V
F
V_F
VF没有出现在等效电路中。
其中：
i
^
L
=
I
c
+
i
^
c
\hat i_L=I_c+\hat i_c
i^L=Ic+i^c
i
a
=
I
a
+
i
^
a
=
D
(
I
c
+
i
^
c
)
+
d
^
I
c
=
D
i
^
L
+
I
L
d
^
i_a=I_a+\hat i_a=D(I_c+\hat i_c)+\hat dI_c=D\hat i_L+I_L\hat d
ia=Ia+i^a=D(Ic+i^c)+d^Ic=Di^L+ILd^
v
^
i
=
V
a
p
+
v
^
a
p
\hat v_i=V_{ap}+\hat v_{ap}
v^i=Vap+v^ap
v
c
p
=
D
(
V
a
p
+
v
^
a
p
)
+
d
^
V
a
p
=
D
v
^
i
+
D
v
^
i
v_{cp}=D(V_{ap}+\hat v_{ap})+\hat dV_{ap}=D\hat v_i+D\hat v_i
vcp=D(Vap+v^ap)+d^Vap=Dv^i+Dv^i
由小信号线性电路模型有：
用信号与系统中练过的 s域模型分析方法与分压公式可求传递函数。
电容：
1
s
C
\frac { 1}{ sC}
sC1 ，电感：
s
L
sL
sL
输入看作恒定值，则
v
^
i
=
0
\hat v_i=0
v^i=0，有：
G
v
d
(
s
)
=
v
^
o
d
^
=
V
i
⋅
(
R
C
+
1
/
s
C
)
/
/
R
R
E
+
s
L
+
(
R
C
+
1
/
s
C
)
/
/
R
=
V
i
⋅
1
+
s
C
R
C
s
2
L
C
(
1
+
R
C
/
R
)
+
s
(
L
/
R
+
C
R
E
R
C
/
R
+
C
R
E
+
C
R
C
)
+
(
1
+
R
E
/
R
)
\begin{align*} G_{vd}(s)=\frac{\hat v_o}{\hat d}&=V_i\cdot\frac{(R_C+1/sC)//R}{R_E+sL+(R_C+1/sC)//R} \\ \\ &=V_i\cdot\frac{1+sCR_C}{s^2LC(1+R_C/R)+s(L/R+CR_ER_C/R+CR_E+CR_C)+(1+R_E/R)}\tag{38} \end{align*}
Gvd(s)=d^v^o=Vi⋅RE+sL+(RC+1/sC)//R(RC+1/sC)//R=Vi⋅s2LC(1+RC/R)+s(L/R+CRERC/R+CRE+CRC)+(1+RE/R)1+sCRC(38)
当
R
E
=
R
C
=
0
R_E=R_C=0
RE=RC=0 有：
G
v
d
(
s
)
=
V
i
s
2
L
C
+
s
L
/
R
+
1
G_{vd}(s)=\frac{V_i}{s^2LC+sL/R+1}
Gvd(s)=s2LC+sL/R+1Vi
令
v
^
i
=
d
^
=
0
\hat v_i=\hat d=0
v^i=d^=0 ，有：
Z
o
(
s
)
=
R
/
/
(
R
C
+
1
/
s
C
)
/
/
(
R
E
+
s
L
)
=
(
1
+
s
C
R
C
)
(
s
L
+
R
E
)
s
2
L
C
(
1
+
R
C
/
R
)
+
s
(
L
/
R
+
C
R
E
R
C
/
R
+
C
R
E
+
C
R
C
)
+
(
1
+
R
E
/
R
)
\begin{align*} Z_o(s)&=R//(R_C+1/sC)//(R_E+sL) \\ \\ &=\frac{(1+sCR_C)(sL+R_E)}{s^2LC(1+R_C/R)+s(L/R+CR_ER_C/R+CR_E+CR_C)+(1+R_E/R)}\tag{39} \end{align*}
Zo(s)=R//(RC+1/sC)//(RE+sL)=s2LC(1+RC/R)+s(L/R+CRERC/R+CRE+CRC)+(1+RE/R)(1+sCRC)(sL+RE)(39)
与式（38）特征方程一样。
令
d
^
=
0
\hat d=0
d^=0 ，有：
Z
i
(
s
)
=
1
D
2
⋅
(
R
E
+
s
L
+
(
R
C
+
1
/
s
C
)
/
/
R
)
=
s
2
L
C
(
1
+
R
C
/
R
)
+
s
(
L
/
R
+
C
R
E
R
C
/
R
+
C
R
E
+
C
R
C
)
+
(
1
+
R
E
/
R
)
D
2
[
s
C
(
R
C
/
R
+
1
)
+
1
/
R
]
\begin{align*} Z_i(s)&=\frac{1}{D^2}\cdot(R_E+sL+(R_C+1/sC)//R) \\ \\ &=\frac{s^2LC(1+R_C/R)+s(L/R+CR_ER_C/R+CR_E+CR_C)+(1+R_E/R)}{D^2[ \ sC(R_C/R+1)+1/R \ ]}\tag{40} \end{align*}
Zi(s)=D21⋅(RE+sL+(RC+1/sC)//R)=D2[ sC(RC/R+1)+1/R ]s2LC(1+RC/R)+s(L/R+CRERC/R+CRE+CRC)+(1+RE/R)(40)
分母是特征方程。
前面乘占空比倒数平方是为了换算到输入侧。
令
d
^
=
0
\hat d=0
d^=0 ，有：
A
(
s
)
=
v
^
o
v
^
i
=
D
⋅
(
R
C
+
1
/
s
C
)
/
/
R
R
E
+
s
L
+
(
R
C
+
1
/
s
C
)
/
/
R
=
D
⋅
1
+
s
C
R
C
s
2
L
C
(
1
+
R
C
/
R
)
+
s
(
L
/
R
+
C
R
E
R
C
/
R
+
C
R
E
+
C
R
C
)
+
(
1
+
R
E
/
R
)
\begin{align*} A(s)=\frac{\hat v_o}{\hat v_i} & =D\cdot\frac{(R_C+1/sC)//R}{R_E+sL+(R_C+1/sC)//R} \\ \\ &=D\cdot\frac{1+sCR_C}{s^2LC(1+R_C/R)+s(L/R+CR_ER_C/R+CR_E+CR_C)+(1+R_E/R)}\tag{41} \end{align*}
A(s)=v^iv^o=D⋅RE+sL+(RC+1/sC)//R(RC+1/sC)//R=D⋅s2LC(1+RC/R)+s(L/R+CRERC/R+CRE+CRC)+(1+RE/R)1+sCRC(41)
取电感电流与电容电压为状态变量有：
S导通：
d
d
t
[
i
L
u
C
]
=
[
0
−
1
L
1
C
−
1
R
C
]
[
i
L
u
C
]
+
[
1
L
0
]
v
i
(42)
\frac d{dt} \begin{bmatrix} i_L \\ u_C \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & -\frac 1 L \\ \frac 1 C & -\frac 1 {RC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_L \\ u_C \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac 1 L \\ 0 \end{bmatrix} v_i\tag{42}
dtd[iLuC]=[0C1−L1−RC1][iLuC]+[L10]vi(42)
S关闭：
d
d
t
[
i
L
u
C
]
=
[
0
−
1
L
1
C
−
1
R
C
]
[
i
L
u
C
]
+
[
0
0
]
v
i
(43)
\frac d{dt} \begin{bmatrix} i_L \\ u_C \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & -\frac 1 L \\ \frac 1 C & -\frac 1 {RC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_L \\ u_C \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} v_i \tag{43}
dtd[iLuC]=[0C1−L1−RC1][iLuC]+[00]vi(43)
（42）乘 D 加（43）乘（1-D）得大信号状态空间平均模型：
d
d
t
[
I
L
V
C
]
=
[
0
−
1
L
1
C
−
1
R
C
]
[
I
L
V
C
]
+
[
1
L
0
]
V
i
D
(44)
\frac d{dt} \begin{bmatrix} I_L \\ V_C \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & -\frac 1 L \\ \frac 1 C & -\frac 1 {RC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_L \\ V_C \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac 1 L \\ 0 \end{bmatrix} V_iD \tag{44}
dtd[ILVC]=[0C1−L1−RC1][ILVC]+[L10]ViD(44)
加入扰动：
d
d
t
[
I
L
+
i
^
L
V
C
+
u
^
C
]
=
[
0
−
1
L
1
C
−
1
R
C
]
[
I
L
+
i
^
L
V
C
+
u
^
C
]
+
[
1
L
0
]
(
V
i
+
v
^
i
)
(
D
+
d
^
)
\frac d{dt} \begin{bmatrix} I_L+\hat i_L \\ V_C+\hat u_C \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & -\frac 1 L \\ \frac 1 C & -\frac 1 {RC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_L+\hat i_L \\ V_C+\hat u_C \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac 1 L \\ 0 \end{bmatrix} (V_i+\hat v_i)(D+\hat d)
dtd[IL+i^LVC+u^C]=[0C1−L1−RC1][IL+i^LVC+u^C]+[L10](Vi+v^i)(D+d^)
去除直流（减去式44）、高阶小量并取小信号部分：
d
d
t
[
i
^
L
u
^
C
]
=
[
0
−
1
L
1
C
−
1
R
C
]
[
i
^
L
u
^
C
]
+
[
1
L
0
]
(
V
i
d
^
+
v
^
i
D
)
\frac d{dt} \begin{bmatrix} \hat i_L \\ \hat u_C \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & -\frac 1 L \\ \frac 1 C & -\frac 1 {RC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat i_L \\ \hat u_C \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac 1 L \\ 0 \end{bmatrix} (V_i\hat d+\hat v_i D)
dtd[i^Lu^C]=[0C1−L1−RC1][i^Lu^C]+[L10](Vid^+v^iD)
做 Laplace 变换，取初值为0：
s
[
I
^
L
(
s
)
V
^
C
(
s
)
]
=
[
0
−
1
L
1
C
−
1
R
C
]
[
I
^
L
(
s
)
V
^
C
(
s
)
]
+
[
1
L
0
]
(
V
i
d
^
(
s
)
+
v
^
i
(
s
)
D
)
s
X
=
A
X
+
b
u
(
s
−
A
)
X
=
b
u
X
=
(
s
−
A
)
−
1
b
u
[
I
^
L
(
s
)
V
^
C
(
s
)
]
=
[
s
1
L
−
1
C
s
+
1
R
C
]
−
1
[
1
L
0
]
(
V
i
d
^
(
s
)
+
v
^
i
(
s
)
D
)
\begin{align*} s \begin{bmatrix} \hat I_L(s) \\ \hat V_C(s) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & -\frac 1 L \\ \frac 1 C & -\frac 1 {RC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat I_L(s) \\ \hat V_C(s) \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac 1 L \\ 0 \end{bmatrix} ( \ V_i\hat d(s)+\hat v_i(s) D \ ) \\ \\ sX&=AX+bu \\ (s-A)X&=bu\\ X&=(s-A)^{-1}bu \\ \\ \begin{bmatrix} \hat I_L(s) \\ \hat V_C(s) \end{bmatrix} &=\begin{bmatrix} s & \frac 1 L \\ -\frac 1 C & s+\frac 1 {RC} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \frac 1 L \\ 0 \end{bmatrix} ( \ V_i\hat d(s)+\hat v_i(s) D \ ) \end{align*}
s[I^L(s)V^C(s)]sX(s−A)XX[I^L(s)V^C(s)]=[0C1−L1−RC1][I^L(s)V^C(s)]+[L10]( Vid^(s)+v^i(s)D )=AX+bu=bu=(s−A)−1bu=[s−C1L1s+RC1]−1[L10]( Vid^(s)+v^i(s)D )
代入
v
^
i
=
0
\hat v_i=0
v^i=0 有：
s
I
^
L
(
s
)
+
1
L
V
^
C
(
s
)
=
1
L
V
i
d
^
(
s
)
s\hat I_L(s)+\frac 1 L\hat V_C(s)=\frac 1 LV_i\hat d(s)
sI^L(s)+L1V^C(s)=L1Vid^(s)
−
1
C
I
^
L
+
(
s
+
1
R
C
)
V
^
C
(
s
)
=
0
-\frac 1 C \hat I_L+(s+\frac 1 {RC})\hat V_C(s)=0
−C1I^L+(s+RC1)V^C(s)=0
消掉
I
^
L
(
s
)
\hat I_L(s)
I^L(s) 有：
V
^
C
(
s
)
d
^
(
s
)
=
V
i
s
2
L
C
+
s
L
/
R
+
1
(45)
\frac{\hat V_C(s)}{\hat d (s)}=\frac{V_i}{s^2LC+sL/R+1}\tag{45}
d^(s)V^C(s)=s2LC+sL/R+1Vi(45)
与式（38）
R
E
=
R
C
=
0
R_E=R_C=0
RE=RC=0 时候的公式相同。
[[3. BOOST电路]]
