【线性代数】第一章 1.3逆矩阵

2023-11-18

上一篇： 1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换

一，逆矩阵的概念与性质

二，用行初等变换求逆矩阵

一，逆矩阵的概念与性质

前面我们定义了矩阵的加法，减法和乘法三种运算。自然的，欲在矩阵中引入类似于除法的概念，其关键在于引入类似于倒数的概念。

对于任意方阵A，有AI=IA=A.所以，从矩阵的乘法角度来看，单位矩阵I类似于数1的作用。一个数a≠0的倒数 $a^{-1}$ 可用 $aa^{-1}=1$ 来刻画，类似的，我们引入逆矩阵的概念。

定义设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=I,则称A是可逆矩阵，简称A可逆，并称B是A的逆矩阵。

定理1 设A是逆矩阵，则它的逆矩阵是唯一的。

有定义可知，若B是A的逆矩阵，则A亦是B的逆矩阵，它们互为逆矩阵。

若A可逆，则A的逆矩阵存在，记为 $A^{-1}$ ,且 $AA^{-1}=A^{-1}A=I$

要注意的是，并不是所有的矩阵都有逆矩阵，例如矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1& 1 \end{pmatrix}$ 不可能有逆矩阵，这是因为它与任何二阶矩阵的乘积都不可能为单位矩阵。

我们可以用待定系数法求n阶矩阵的逆矩阵，但当n较大时，工作量很大，并不方便，后面将介绍简便的方法，在此之前，我们要先研究一下逆矩阵的性质。

定理2 设A,B均为n阶可逆矩阵，数 $\lambda$ ≠0，则

1） $A^{-1}$ 可逆，且 $(A^{-1})^{-1}=A$ ;

2) $\lambda A$ 可逆，且 $(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda }A^{-1}$ ;

3)AB可逆，且 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

4) $A^{T}$ 可逆，且 $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$

初等矩阵是可逆的，且逆矩阵仍为初等矩阵

定理 3 设A为n阶矩阵，则下列各命题是等价的：

1.A是可逆的；

2.齐次线性方程组AX=0只有零解

3.A与I行等价

4.A可表示为有限个初等矩阵的乘积

推论：设A为n阶矩阵，则非齐次线性方程组AX=b有唯一解的充要条件是A可逆

二，用行初等变换求逆矩阵

现在我们介绍一个求 $A^{-1}$ 的简便方法，设A可逆，故存在初等矩阵 $E_{1},E_{2},...,E_{k},$ 使得 $E_{k}E_{K-1}...E_{1}=I$ ,即

$A^{-1}=E_{K}E_{K-1}...E_{1}=E_{K}E_{K-1}...E_{1}I.$

因此，如果用一系列初等变换将A化为I，则用同样的行初等变换就将I化为 $A^{-1}$ .

这就给我们提供了一个计算 $A^{-1}$ 的有效方法：若对（A,I）施以行初等变换将A变为I，则I就变为I,则I就变成了 $A^{-1}$

例利用行初等变换求 $A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1\\ 1& 1& 2\\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵 $A^{-1}$

值得注意的是：用行初等变换求逆矩阵时，必须始终用行初等变换，期间不能做列初等变换。

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