接下来，按照BF算法，应该是如上图的流程②③④⑤⑥。即主串S中当i=2、3、4、5、6时，首字符与子串T的首字符均不等。

似乎这也是理所当然，原来的算法就是这样设计的。可仔细观察发现。对于要匹配的子串T来说，“abcdex”首字任意一个字符都不相等。也就是说，既然“a”不与自己后面的子串中任何一字符相等，那么对于上图的①来说，前五位字符分别相等，意味着子串T的首字符“a”不可能与S串的第2位到第5位的字符相等。在上图中，②③④⑤的判断都是多余。

同样道理，在我们知道T串中首字符“a”与T中后面的字符均不相等的前提下，T串的“a”与S串后面的“c”、“d”、“e”也都可以在①之后就可以确定是不相等的，所以这个算法当中②③④⑤没有必要，只保留①⑥即可，如下图所示。

之所以保留⑥中的判断是因为在①中T[6]≠S[6]，尽管我们已经知道T[1]≠T[6]，但也不能断定T[1]一定不等于S[6]，因此需要保留⑥这一步。”

如果T串后面也含有首字符“a”的字符怎么办呢？

我们来看下面一个例子，假设S="abcababca"，T="abcabx"。对于开始的判断，前5个字符完全相等，第6个字符不等，如下图的①。此时，根据刚才的经验，T的首字符“a”与T的第二位字符“b”、第三位字符“c”均不等，所以不需要做判断，下图的BF算法步骤②③都是多余。

因为T的首位“a”与T第四位的“a”相等，第二位的“b”与第五位的“b”相等。而在①时，第四位的“a”与第五位的“b”已经与主串S中的相应位置比较过了，是相等的，因此可以断定，T的首字符“a”、第二位的字符“b”与S的第四位字符和第五位字符也不需要比较了，肯定也是相等的——之前比较过了，还判断什么，所以④⑤这两个比较得出字符相等的步骤也可以省略。

也就是说，对于在子串中有与首字符相等的字符，也是可以省略一部分不必要的判断步骤。如下图所示，省略掉右图的T串前两位“a”与“b”同S串中的4、5位置字符匹配操作。

对比这两个例子，我们会发现在①时，我们的i值，也就是主串当前位置的下标是6，②③④⑤，i值是2、3、4、5，到了⑥，i值才又回到了6。即我们在BF算法中，主串的i值是不断地回溯来完成的。而我们的分析发现，这种回溯其实是可以不需要的——正所谓好马不吃回头草，我们的KMP模式匹配算法就是为了让这没必要的回溯不发生。

既然i值不回溯，也就是不可以变小，那么要考虑的变化就是j值了。通过观察也可发现，我们屡屡提到了T串的首字符与自身后面字符的比较，发现如果有相等字符，j值的变化就会不相同。也就是说，这个j值的变化与主串其实没什么关系，关键就取决于T串的结构中是否有重复的问题。

由于T="abcdex"，当中没有任何重复的字符，所以j就由6变成了1。由于T="abcabx"，前缀的“ab”与最后“x”之前串的后缀“ab”是相等的。因此j就由6变成了3。因此，我们可以得出规律，j值的多少取决于当前字符之前的串的前后缀的相似度。

我们把T串各个位置的j值的变化定义为一个数组next，那么next的长度就是T串的长度。于是我们可以得到下面的函数定义：

next数组值推导

“具体如何推导出一个串的next数组值呢，我们来看一些例子。

1．T="abcdex

1）当j=1时，next[1]=0；

2）当j=2时，j由1到j-1就只有字符“a”，属于其他情况next[2]=1；

3）当j=3时，j由1到j-1串是“ab”，显然“a”与“b”不相等，属其他情况，next[3]=1；

4）以后同理，所以最终此T串的next[j]为011111。

2．T="abcabx"

1）当j=1时，next[1]=0；

2）当j=2时，同上例说明，next[2]=1；

3）当j=3时，同上，next[3]=1；

4）当j=4时，同上，next[4]=1；

5）当j=5时，此时j由1到j-1的串是“abca”，前缀字符“a”与后缀字符“a”相等（前缀用下划线表示，后缀用斜体表示），因此可推算出k值为2（由‘p1...pk-1’=‘pj-k＋1...pj-1’，得到p1=p4）因此next[5]=2；

6）当j=6时，j由1到j-1的串是“abcab”，由于前缀字符“ab”与后缀“ab”相等，所以next[6]=3。

我们可以根据经验得到如果前后缀一个字符相等，k值是2，两个字符k值是3，n个相等k值就是n+1。

3．T="ababaaaba"

1）当j=1时，next[1]=0；

2）当j=2时，同上next[2]=1；

3）当j=3时，同上next[3]=1；

4）当j=4时，j由1到j-1的串是“aba”，前缀字符“a”与后缀字符“a”相等，next[4]=2；

5）当j=5时，j由1到j-1的串是“abab”，由于前缀字符“ab”与后缀“ab”相等，所以next[5]=3；

6）当j=6时，j由1到j-1的串是“ababa”，由于前缀字符“aba”与后缀“aba”相等，所以next[6]=4；

7）当j=7时，j由1到j-1的串是“ababaa”，由于前缀字符“ab”与后缀“aa”并不相等，只有“a”相等，所以next[7]=2；

8）当j=8时，j由1到j-1的串是“ababaaa”，只有“a”相等，所以next[8]=2；

9）当j=9时，j由1到j-1的串是“ababaaab”，由于前缀字符“ab”与后缀“ab”相等，所以next[9]=3。

4．T="aaaaaaaab"

1）当j=1时，next[1]=0；

2）当j=2时，同上next[2]=1；

3）当j=3时，j由1到j-1的串是“aa”，前缀字符“a”与后缀字符“a”相等，next[3]=2；

4）当j=4时，j由1到j-1的串是“aaa”，由于前缀字符“aa”与后缀“aa”相等，所以next[4]=3；

5）……

6）当j=9时，j由1到j-1的串是“aaaaaaaa”，由于前缀字符“aaaaaaa”与后缀“aaaaaaa”相等，所以next[9]=8。

KMP模式匹配算法实现

next数组计算实现

/* 通过计算返回子串T的next数组。 */
void get_next(String T, int *next)
{
    int i, j;
    i = 1;
    j = 0;
    next[1] = 0;
    /* 此处T[0]表示串T的长度 */
    while (i < T[0])
    {
        /* T[i]表示后缀的单个字符， */
        /* T[j]表示前缀的单个字符 */
        if (j == 0 || T[i] == T[j])
        {
            ++i;
            ++j;
            next[i] = j;
        }
        else
            /* 若字符不相同，则j值回溯 */
            j = next[j];
    }
}

这段代码的目的就是为了计算出当前要匹配的串T的next数组。

/* 返回子串T在主串S中第pos个字符之后的位置。
   若不存在，则函数返回值为0。 */
/* T非空，1≤pos≤StrLength(S)。 */
int Index_KMP(String S, String T, int pos)
{
    /* i用于主串S当前位置下标值，若pos不为1， */
    /* 则从pos位置开始匹配 */
    int i = pos;
    /* j用于子串T中当前位置下标值 */
    int j = 1;
    /* 定义一next数组 */
    int next[255];
    /* 对串T作分析，得到next数组 */
    get_next(T, next);
    /* 若i小于S的长度且j小于T的长度时， */
    /* 循环继续 */
    while (i <= S[0] && j <= T[0])
    {
        /* 两字母相等则继续，相对于BF算法增加了 */
        /* j=0判断 */
        if (j == 0 || S[i] == T[j])
        {
            ++i;
            ++j;
        }
        /* 指针后退重新开始匹配 */
        else
        {
            /* j退回合适的位置，i值不变 */
            j = next[j];
        }
    }
    if (j > T[0])
        return i - T[0];
    else
        return 0;
}

KMP模式匹配算法改进

KMP还是有缺陷的。比如，如果我们的主串S="aaaabcde"，子串T="aaaaax"，其next数组值分别为012345，在开始时，当i=5、j=5时，我们发现“b”与“a”不相等，如下图的①，因此j=next[5]=4，如图中的②，此时“b”与第4位置的“a”依然不等，j=next[4]=3，如图中的③，后依次是④⑤，直到j=next[1]=0时，根据算法，此时i++、j++，得到i=6、j=1，如图中的⑥。

我们发现，当中的②③④⑤步骤，其实是多余的判断。由于T串的第二、三、四、五位置的字符都与首位的“a”相等，那么可以用首位next[1]的值去取代与它相等的字符后续next[j]的值，这是个很好的办法。因此我们对求next函数进行了改良。

假设取代的数组为nextval，代码如下：

/* 求模式串T的next函数修正值并存入数组
nextval */
void get_nextval(String T, int *nextval)
{
    int i, j;
    i = 1;
    j = 0;
    nextval[1] = 0;
    /* 此处T[0]表示串T的长度 */
    while (i < T[0])                        
    {
        /* T[i]表示后缀的单个字符， */
        /* T[j]表示前缀的单个字符 */
        if (j == 0 || T[i] == T[j])         
        {
            ++i;
            ++j;
            /* 若当前字符与前缀字符不同 */
            if (T[i] != T[j])               
                /* 则当前的j为nextval在i位置的值 */
                nextval[i] = j;             
            else
                /* 如果与前缀字符相同，则将前缀 */
                /* 字符的nextval值赋值给nextval在i位置的值 */
                nextval[i] = nextval[j];    
        }
        else
            /* 若字符不相同，则j值回溯 */
            j = nextval[j];                 
    }
}

nextval数组值推导

改良后，我们之前的例子nextval值就与next值不完全相同了。比如：

1．T="ababaaaba"

先算出next数组的值分别为011234223，然后再分别判断。

1）当j=1时，nextval[1]=0；

2）当j=2时，因第二位字符“b”的next值是1，而第一位就是“a”，它们不相等，所以nextval[2]=next[2]=1，维持原值。

3）当j=3时，因为第三位字符“a”的next值为1，所以与第一位的“a”比较得知它们相等，所以nextval[3]=nextval[1]=0；

4）当j=4时，第四位的字符“b”next值为2，所以与第二位的“b”相比较得到结果是相等，因此nextval[4]=nextval[2]=1；如下图所示。

5）当j=5时，next值为3，第五个字符“a”与第三个字符“a”相等，因此nextval[5]=nextval[3]=0；

6）当j=6时，next值为4，第六个字符“a”与第四个字符“b”不相等，因此nextval[6]=4；

7）当j=7时，next值为2，第七个字符“a”与第二个字符“b”不相等，因此nextval[7]=2；

8）当j=8时，next值为2，第八个字符“b”与第二个字符“b”相等，因此nextval[8]=nextval[2]=1；

9）当j=9时，next值为3，第九个字符“a”与第三个字符“a”相等，因此nextval[9]=nextval[3]=0。

2．T="aaaaaaaab"

“先算出next数组的值分别为012345678，然后再分别判断。

1）当j=1时，nextval[1]=0；

2）当j=2时，next值为1，第二个字符与第一个字符相等，所以nextval[2]=nextval[1]=0；

3）同样的道理，其后都为0……；

4）当j=9时，next值为8，第九个字符“b”与第八个字符“a”不相等，所以nextval[9]=8。

总结

改进过的KMP算法，它是在计算出next值的同时，如果a位字符与它next值指向的b位字符相等，则该a位的nextval就指向b位的nextval值，如果不等，则该a位的nextval值就是它自己a位的next的值。”