我们现在深入理解一下抽象数据类型背后的理论，这些理论不仅本身很有趣，它们在ADT的设计与实现中也很有意义。如果你能够很好的理解它们，你将会设计出更好的抽象类型，并且远离那些隐晦的陷阱。
在研究抽象类型的时候，先思考一下两个值域之间的关系：
表示域（space of representation values）里面包含的是值具体的实现实体。在简单的情况下，一个抽象类型只需要实现为单个的对象，但是更常见的情况是使用一个很多对象的网络。
抽象域里面包含的则是类型设计时支持使用的值。这些值是由表示域“抽象/想象”出来的，也是使用者关注的。例如，一个无限整数对象的抽象域是整个整数域，但是它的实现域可能是一个由原始整数类型（有限）组成的数组实现的，而使用者只关注抽象域。
但是，实现者是非常“在意”表示域（和抽象域）的，因为实现者的责任就是实现表示域到抽象域的转换（映射）。
例如，我们选择用字符串来表示一个字符集合：
public class CharSet {
private String s;
...
}
如上图所示，表示域R包含的是我们的实现实体（字符串），而抽象域里面是抽象类型表示的字符集合，我们用箭头表示这两个域之间的映射关系。这里要注意几点：
·每一个抽象值都是由表示值映射而来 。我们之前说过实现抽象类型的意义在于支持对于抽象值的操作，即我们需要能够创建和管理所有的抽象值，因此它们也必须是可表示的。
·一些抽象值是被多个表示值映射而来的。这是因为表示方法并不是固定的，我们可以灵活的表示一个抽象值。
·不是所有的表示值都能映射到抽象域中。在上面这个例子中，“abbc”就没有被映射。因为我们已经确定了表示值的字符串中不能含有重复的字符——这样我们的 remove 方法就能在遇到第一个对应字符的时候停止，因为我们知道没有重复的字符。
由于我们不可能对每一个映射一一解释，为了描述这种对应关系和这两个域，我们再定义两个概念：
抽象函数abstraction function是表示值到其对应的抽象值的映射：
AF:R->A
快照图中的箭头表示的就是抽象函数，可以看出，这种映射是满射，但不一定是单射（不一定是双射）。
表示不变量rep invariant是表示值到布尔值的映射：
RI:R->boolean
对于表示值r，当且仅当r被AF映射到了A，RI®为真。换句话说，RI告诉了我们哪些表示值是“良好组织”的（能够去表示A中的抽象值），在下图中，绿色表示的就是RI®为真的部分，AF只在这个子集上有定义。
例如上图中，CharSet这种类型的实现禁止有重复字符，所以 RI(“a”) = true, RI(“ac”) = true, RI(“acb”) = true, 但是 RI(“aa”) = false, RI(“abbc”) = false.其中为假的集合用红色区域表示，合法的（为真）的字符串集合用绿色表示。
表示不变量和抽象函数都应该在表示声明后注释出来：
public class CharSet {
private String s;
// Rep invariant:
// s contains no repeated characters
// Abstraction function:
// AF(s) = {s[i] | 0 <= i < s.length()}
...
}
一个常见的疑惑就是，抽象函数和表示不变量似乎是被表示域和抽象域决定的，甚至似乎抽象域就可以决定它。如果是这样的话，那么它们的定义似乎没什么用。
首先证明抽象域并不能独立决定AF和RI：对于同样的抽象类型可以有多种表示方法。例如对于一个字符集合，我们既可以用字符串来表示，也可以用比特向量来表示，每一个比特位对应一个可能的字符。显然我们需要两个不同的抽象函数来表示这两种不同的映射。
现在我们再来证明表示域和抽象域也不能决定AF和RI。这里的关键点在于，当我们确定表示域（表示值的空间）后，我们并不能决定哪一些表示值是合法的，以及如果它是合法的，它会被怎么解释/映射。例如在上面的例子中，我们也可以允许表示值有重复的字符，但是我们要求表示值中的字符必须是排好序的，因为这样我们就可以对其进行二分查找而非线性的遍历了。对于同一个表示域，我们得到了不同的表示不变量：
public class CharSet {
private String s;
// Rep invariant:
// s[0] <= s[1] <= ... <= s[s.length()-1]
// Abstraction function:
// AF(s) = {s[i] | 0 <= i < s.length()}
...
}
最后，即使是同样的抽象域和表示域以及同样的表示不变量，我们也可能有不同的解释方法/抽象函数。还是上面的例子，我们可以对表示值中相邻的字符做不同的解释： “acgg” 被解释为[a-c] 和 [g-g]中的字符，即{a,b,c,g}。现在的映射如下图所示：
public class CharSet {
private String s;
// Rep invariant:
// s.length() is even
// s[0] <= s[1] <= ... <= s[s.length()-1]
// Abstraction function:
// AF(s) = union of { c | s[2i] <= c <= s[2i+1] }
// for all 0 <= i < s.length()/2
...
}
总之，一个ADT的实现不仅是选择表示域（规格说明）和抽象域（具体实现），同时也要决定哪一些表示值是合法的（表示不变量），合法表示会被怎么解释/映射（抽象函数）。