本文归纳常见的常微分方程的一般解法。
如果没有出现意外，本文将不包含解法的推导过程。
常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类：
- 可分离变量的微分方程（一阶）
- 一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶），包含伯努利
- 二阶常系数微分方程（二阶）
- 高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉
1.可分离变量的微分方程（一阶）
这类微分方程可以变形成如下形式：
f
(
x
)
d
x
=
g
(
y
)
d
y
f(x)dx=g(y)dy
f(x)dx=g(y)dy
两边同时积分即可解出函数，难度主要在于不定积分，是最简单的微分方程。
p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。
2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）
形如
d
y
d
x
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)
dxdy+P(x)y=Q(x)
的方程叫做一阶线性微分方程，若
Q
(
x
)
Q(x)
Q(x)为0，则方程齐次，否则称为非齐次。
解法：直接套公式：
y
(
x
)
=
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
(
∫
e
∫
P
(
x
)
d
x
Q
(
x
)
d
x
+
C
)
y(x)=e^{-\int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C)
y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)
多套几遍熟练就好。
伯努利方程
形如
d
y
d
x
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
y
n
,
n
∈
R
,
n
≠
1
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1
dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1
的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：
y
−
n
d
y
d
x
+
P
(
x
)
y
1
−
n
=
Q
(
x
)
y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)
y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)
1
1
−
n
⋅
d
y
1
−
n
d
x
+
P
(
x
)
y
1
−
n
=
Q
(
x
)
\frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)
1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x)
令
y
1
−
n
=
u
y^{1-n}=u
y1−n=u，方程两边同时乘以
1
−
n
1-n
1−n，得到
d
u
d
x
+
(
1
−
n
)
P
(
x
)
u
=
(
1
−
n
)
Q
(
x
)
\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)
dxdu+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)
即
d
u
d
x
+
P
′
(
x
)
u
=
Q
′
(
x
)
\frac{du}{dx}+P'(x)u=Q'(x)
dxdu+P′(x)u=Q′(x)
这是可以套公式的一阶线性微分方程。
3.二阶常系数微分方程（二阶）
形如
y
′
′
+
p
y
′
+
q
y
=
f
(
x
)
y''+py'+qy=f(x)
y′′+py′+qy=f(x)
的方程称为二阶常系数微分方程，若
f
(
x
)
≡
0
f(x)\equiv0
f(x)≡0，则方程称为齐次的，反之称为非齐次的。以下默认方程是非齐次的。
求解此类方程分两步：
- 求出齐次通解
- 求出非齐次特解
方程的解就是齐次通解和非齐次特解的和。
齐次通解的求法
首先假设
f
(
x
)
≡
0
f(x)\equiv0
f(x)≡0.
用特征方程法，写出对应的特征方程并且求解：
r
2
+
p
r
+
q
=
0
r^{2}+pr+q=0
r2+pr+q=0
解的情况分为以下三种：
情况一：方程有两个不同的实数解
假设两个实数解分别是
r
1
、
r
2
r_{1}、r_{2}
r1、r2，
此时方程的通解是
Y
(
x
)
=
C
1
e
r
1
x
+
C
2
e
r
2
x
Y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}
Y(x)=C1er1x+C2er2x.
情况二：方程有一个二重解
假设该解等于
r
r
r，
此时方程的通解是
Y
(
x
)
=
(
C
1
+
C
2
x
)
e
r
x
Y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}
Y(x)=(C1+C2x)erx.
情况三：方程有一对共轭复解
假设这对解是
α
±
i
β
\alpha\pm i\beta
α±iβ
此时方程的通解是
Y
(
x
)
=
e
α
x
(
C
1
c
o
s
(
β
x
)
+
C
2
s
i
n
(
β
x
)
)
Y(x)=e^{\alpha x}(C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x))
Y(x)=eαx(C1cos(βx)+C2sin(βx))
非齐次特解的求法
对于
f
(
x
)
f(x)
f(x)和特征根的情况，对特解的情况做如下归纳：
1.
f
(
x
)
=
P
m
(
x
)
f(x)=P_{m}(x)
f(x)=Pm(x)，其中
P
m
(
x
)
P_{m}(x)
Pm(x)表示
x
x
x的最高次数为m的多项式。
若0不是方程特征解
则方程有特解
y
∗
=
Q
m
(
x
)
y^{*}=Q_{m}(x)
y∗=Qm(x)
若0是方程的单特征解
则方程有特解
y
∗
=
x
Q
m
(
x
)
y^{*}=xQ_{m}(x)
y∗=xQm(x)
若0是方程的二重特征解
则方程有特解
y
∗
=
x
2
Q
m
(
x
)
y^{*}=x^{2}Q_{m}(x)
y∗=x2Qm(x).
其中，
Q
m
(
x
)
=
b
0
+
b
1
x
+
…
…
+
b
m
x
m
Q_{m}(x)=b_{0}+b_{1}x+……+b_{m}x^{m}
Qm(x)=b0+b1x+……+bmxm，
b
i
(
i
=
0
,
1
,
…
…
m
)
b_{i}(i = 0,1,……m)
bi(i=0,1,……m)是需要带回原方程来确定的系数。
2.
f
(
x
)
=
e
α
x
P
m
(
x
)
f(x)=e^{\alpha x}P_{m}(x)
f(x)=eαxPm(x).
若
α
\alpha
α不是方程特征解
则方程有特解
y
∗
=
e
α
x
Q
m
(
x
)
y^{*}=e^{\alpha x}Q_{m}(x)
y∗=eαxQm(x)
若
α
\alpha
α是方程的单特征解
则方程有特解
y
∗
=
x
e
α
x
Q
m
(
x
)
y^{*}=xe^{\alpha x}Q_{m}(x)
y∗=xeαxQm(x)
若
α
\alpha
α是方程的二重特征解
则方程有特解
y
∗
=
x
2
e
α
x
Q
m
(
x
)
y^{*}=x^{2}e^{\alpha x}Q_{m}(x)
y∗=x2eαxQm(x).
3.
f
(
x
)
=
e
α
x
(
a
1
c
o
s
(
β
x
)
+
a
2
s
i
n
(
β
x
)
)
f(x)=e^{\alpha x}(a_{1}cos(\beta x)+a_{2}sin(\beta x))
f(x)=eαx(a1cos(βx)+a2sin(βx))
若
α
±
i
β
\alpha\pm i\beta
α±iβ不是特征解
则方程有特解
y
∗
=
e
α
x
(
A
1
c
o
s
(
β
x
)
+
A
2
s
i
n
(
β
x
)
)
y^{*}=e^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x))
y∗=eαx(A1cos(βx)+A2sin(βx))
若
α
±
i
β
\alpha\pm i\beta
α±iβ是特征解
则方程有特解
y
∗
=
x
e
α
x
(
A
1
c
o
s
(
β
x
)
+
A
2
s
i
n
(
β
x
)
)
y^{*}=xe^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x))
y∗=xeαx(A1cos(βx)+A2sin(βx))
其中
A
1
A_{1}
A1、
A
2
A_{2}
A2是需要带回原方程来确定的系数。
4.高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉
形如
y
(
n
)
+
p
1
y
(
n
−
1
)
+
.
.
.
+
p
n
−
1
y
′
+
p
n
y
=
f
(
x
)
y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+...+p_{n-1}y'+p_{n}y=f(x)
y(n)+p1y(n−1)+...+pn−1y′+pny=f(x)
的方程叫做高阶常系数微分方程，若
f
(
x
)
≡
0
f(x)\equiv0
f(x)≡0，则方程是齐次的，否则是非齐次的。下面默认方程是非齐次的。
求解此类方程分两步：
- 求出齐次通解
- 求出非齐次特解
方程的解就是齐次通解和非齐次特解的和。
齐次通解的求法
使用特征方程法。首先假设
f
(
x
)
≡
0
f(x)\equiv0
f(x)≡0.
列出特征方程并求解：
r
n
+
p
1
r
n
−
1
+
.
.
.
+
p
n
−
1
r
+
p
n
=
0
r^{n}+p_{1}r^{n-1}+...+p_{n-1}r+p_{n}=0
rn+p1rn−1+...+pn−1r+pn=0
得到的解无非是以下四种情形：
- 1重实数解
- k重实数解
- 一对1重共轭复数解
- 一对k重共轭复数解
每出现一种情形的解，通解
y
(
x
)
y(x)
y(x)中就多出一项，各项之和就构成了整个通解。
根据下面的规则可以写出不同情况下的通解
1重实数解
设
λ
\lambda
λ是特征方程的一个1重实数解。
则应该为它在通解中增加这样一项：
C
e
λ
x
Ce^{\lambda x}
Ceλx
k重实数解
设
λ
\lambda
λ是特征方程的一个k重实数解。
则应该为它在通解中增加这样一项（如果拆开括号就是k项）：
e
λ
x
(
C
1
+
C
2
x
+
.
.
.
+
C
k
x
k
−
1
)
e^{\lambda x}(C_{1}+C_{2}x+...+C_{k}x^{k-1})
eλx(C1+C2x+...+Ckxk−1)
一对1重共轭复数解
设
α
±
i
β
\alpha\pm i\beta
α±iβ是特征方程的一对1重共轭复数解。
则应该为它在通解中增加这样一项（如果拆开括号就是2项）：
e
α
x
(
C
1
c
o
s
(
β
x
)
+
C
2
s
i
n
(
β
x
)
)
e^{\alpha x}(C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x))
eαx(C1cos(βx)+C2sin(βx))
一对k重共轭复数解
设
α
±
i
β
\alpha\pm i\beta
α±iβ是特征方程的一对k重共轭复数解。
则应该为它在通解中增加这样一项（如果拆开括号就是2k项）：
e
α
x
[
(
C
1
+
C
2
x
+
.
.
.
+
C
k
x
k
−
1
)
c
o
s
(
β
x
)
+
e^{\alpha x}[(C_{1}+C_{2}x+...+C_{k}x^{k-1})cos(\beta x)+
eαx[(C1+C2x+...+Ckxk−1)cos(βx)+
(
D
1
+
D
2
x
+
.
.
.
+
D
k
x
k
−
1
)
s
i
n
(
β
x
)
]
(D_{1}+D_{2}x+...+D_{k}x^{k-1})sin(\beta x)]
(D1+D2x+...+Dkxk−1)sin(βx)]
当你为每一个特征方程的解写出对应的项后，把他们加起来，就得到齐次方程的通解了。
非齐次特解的求法
1.
f
(
x
)
=
P
m
(
x
)
f(x)=P_{m}(x)
f(x)=Pm(x)，其中
P
m
(
x
)
P_{m}(x)
Pm(x)表示
x
x
x的最高次数为m的多项式。
若0不是方程特征解
则方程有特解
y
∗
=
Q
m
(
x
)
y^{*}=Q_{m}(x)
y∗=Qm(x)
若0是方程的k重特征解
则方程有特解
y
∗
=
x
k
Q
m
(
x
)
y^{*}=x^{k}Q_{m}(x)
y∗=xkQm(x)
其中，
Q
m
(
x
)
=
b
0
+
b
1
x
+
…
…
+
b
m
x
m
Q_{m}(x)=b_{0}+b_{1}x+……+b_{m}x^{m}
Qm(x)=b0+b1x+……+bmxm，
b
i
(
i
=
0
,
1
,
…
…
m
)
b_{i}(i = 0,1,……m)
bi(i=0,1,……m)是需要带回原方程来确定的系数。
2.
f
(
x
)
=
e
α
x
P
m
(
x
)
f(x)=e^{\alpha x}P_{m}(x)
f(x)=eαxPm(x).
若
α
\alpha
α不是方程特征解
则方程有特解
y
∗
=
e
α
x
Q
m
(
x
)
y^{*}=e^{\alpha x}Q_{m}(x)
y∗=eαxQm(x)
若
α
\alpha
α是方程的k重特征解
则方程有特解
y
∗
=
x
k
e
α
x
Q
m
(
x
)
y^{*}=x^{k}e^{\alpha x}Q_{m}(x)
y∗=xkeαxQm(x).
3.
f
(
x
)
=
e
α
x
(
a
1
c
o
s
(
β
x
)
+
a
2
s
i
n
(
β
x
)
)
f(x)=e^{\alpha x}(a_{1}cos(\beta x)+a_{2}sin(\beta x))
f(x)=eαx(a1cos(βx)+a2sin(βx))
若
α
±
i
β
\alpha\pm i\beta
α±iβ不是特征解
则方程有特解
y
∗
=
e
α
x
(
A
1
c
o
s
(
β
x
)
+
A
2
s
i
n
(
β
x
)
)
y^{*}=e^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x))
y∗=eαx(A1cos(βx)+A2sin(βx))
若
α
±
i
β
\alpha\pm i\beta
α±iβ是k重特征解
则方程有特解
y
∗
=
x
k
e
α
x
(
A
1
c
o
s
(
β
x
)
+
A
2
s
i
n
(
β
x
)
)
y^{*}=x^{k}e^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x))
y∗=xkeαx(A1cos(βx)+A2sin(βx))
其中
A
1
A_{1}
A1、
A
2
A_{2}
A2是需要带回原方程来确定的系数。
欧拉方程
形如
x
n
y
(
n
)
+
p
1
x
n
−
1
y
(
n
−
1
)
+
.
.
.
+
p
n
−
1
x
y
′
+
p
n
y
=
f
(
x
)
x^{n}y^{(n)}+p_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}+...+p_{n-1}xy'+p_{n}y=f(x)
xny(n)+p1xn−1y(n−1)+...+pn−1xy′+pny=f(x)
的方程叫做欧拉方程，它可以变形成常系数微分方程。
变形过程如下：
做变换：
x
=
e
t
x=e^{t}
x=et, 或
t
=
l
n
(
x
)
t=ln(x)
t=ln(x)
于是
d
y
d
x
=
d
t
d
x
d
y
d
x
=
1
x
d
y
d
t
\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}
dxdy=dxdtdxdy=x1dtdy
d
2
y
d
x
2
=
1
x
2
(
d
2
y
d
t
2
−
d
y
d
t
)
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{1}{x^{2}}(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt})
dx2d2y=x21(dt2d2y−dtdy)
d
3
y
d
x
3
=
1
x
3
(
d
3
y
d
t
3
−
3
d
2
y
d
t
2
+
2
d
y
d
t
)
\frac{d^{3}y}{dx^{3}}=\frac{1}{x^{3}}(\frac{d^3y}{dt^3}-3\frac{d^2y}{dt^2}+2\frac{dy}{dt})
dx3d3y=x31(dt3d3y−3dt2d2y+2dtdy)
……
记
D
k
y
=
d
k
y
d
t
k
D^{k}y=\frac{d^{k}y}{dt^{k}}
Dky=dtkdky
则
x
y
′
=
D
y
xy'=Dy
xy′=Dy
x
2
y
′
′
=
D
(
D
−
1
)
y
x^{2}y''=D(D-1)y
x2y′′=D(D−1)y
x
3
y
(
3
)
=
D
(
D
−
1
)
(
D
−
2
)
y
x^{3}y^{(3)}=D(D-1)(D-2)y
x3y(3)=D(D−1)(D−2)y
…
一般的，
x
k
y
(
k
)
=
D
(
D
−
1
)
.
.
.
(
D
−
k
+
1
)
y
x^{k}y^{(k)}=D(D-1)...(D-k+1)y
xky(k)=D(D−1)...(D−k+1)y.
这样，欧拉方程就是关于
y
y
y和
t
t
t的常系数微分方程。
解出
y
y
y后，将
t
=
l
n
(
x
)
t=ln(x)
t=ln(x)带入即得
y
(
x
)
y(x)
y(x).
如有错误欢迎指出。
