设随机变量
X
1
,
X
2
,
⋯
,
X
n
X_1,X_2,\cdots,X_n
X1,X2,⋯,Xn相互独立且均服从标准正态分布
N
(
0
,
1
)
N(0,1)
N(0,1),则称随机变量
χ
2
=
X
1
2
+
X
2
2
+
⋯
+
X
n
2
\chi^2=X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2
χ2=X12+X22+⋯+Xn2 所服从的分布是自由度为
n
n
n的
χ
2
\chi^2
χ2分布,记为
χ
2
∼
χ
2
(
n
)
\chi^2\sim \chi^2(n)
χ2∼χ2(n)
设
X
∼
N
(
0
,
1
)
X \sim N(0,1)
X∼N(0,1),
Y
∼
χ
2
(
n
)
Y \sim \chi^2(n)
Y∼χ2(n),并且
X
X
X与
Y
Y
Y独立,则称随机变量
t
=
X
Y
/
n
t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}
t=Y/nX 所服从的分布是自由度为
n
n
n的
t
t
t分布,记为
t
∼
t
(
n
)
t \sim t(n)
t∼t(n).
当
n
n
n充分大时,自由度为
n
n
n的
t
t
t分布可近似地看成标准正态分布。当n>30时,
t
t
t分布和标准正态分布就已经非常接近了,但对较小的
n
n
n,
t
t
t分布与标准正态分布之间有较大的差异,且
t
t
t分布的尾部比标准正态分布的尾部有着更大的概率,即如果
T
∼
t
(
n
)
T\sim t(n)
T∼t(n),
X
∼
N
(
0
,
1
)
X \sim N(0,1)
X∼N(0,1),则对于充分大的正数
t
0
t_0
t0,有 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \notag at position 102: …nt t_0\right\} \̲n̲o̲t̲a̲g̲ ̲ 在描述不是十分罕见的极端事件所服从的统计规律性时,
t
t
t分布是一个比正态分布更加符合实际的概率分布。
3.
F
F
F分布
设
X
∼
χ
2
(
n
1
)
X \sim \chi^2(n_1)
X∼χ2(n1),
Y
∼
χ
2
(
n
2
)
Y \sim \chi^2(n_2)
Y∼χ2(n2),且
X
X
X与
Y
Y
Y独立,则称随机变量
F
=
X
/
n
1
Y
/
n
2
F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}
F=Y/n2X/n1 所服从的分布是自由度为
(
n
1
,
n
2
)
(n_1,n_2)
(n1,n2)的
F
F
F分布,记为
F
∼
F
(
n
1
,
n
2
)
F \sim F(n_1,n_2)
F∼F(n1,n2)
若
F
∼
F
(
n
1
,
n
2
)
F \sim F(n_1,n_2)
F∼F(n1,n2),则
1
F
∼
F
(
n
1
,
n
2
)
\frac{1}{F}\sim F(n_1,n_2)
F1∼F(n1,n2)