本文仅用于个人学习记录，使用的教材为汤家凤老师的《高等数学辅导讲义》。本文无任何盈利或者赚取个人声望的目的，如有侵权，请联系删除！
关于什么是函数，什么是反函数，这里就不再赘述，这里列举一下基本初等函数
| 函数名称 | 函数 |
|---|---|
| 幂函数 | xa |
| 指数函数 | ax（a > 0且a ≠ 1） |
| 对数函数 | logax（a > 0且a ≠ 1） |
| 三角函数 | sinx，cosx，tanx，cotx，secx，cscx |
| 反三角函数 | arcsinx，arccosx，arctantx，arccotx |
三角函数的基本关系
三角函数重要公式
指数运算法则
对数运算法则
下面贴出基本初等函数的图形
| 初等特性 | 说明 |
|---|---|
| 有界性 | y = f(x)，(x∈D)。若∃M > 0，对∀x∈D，总有|f(x)| ≤ M，称函数f(x)在D上有界 |
| 单调性 | y = f(x)，x∈D。若对∃x1，x2∈D，且x1 < x2，总有f(x1) < f(x2)，称f(x)在D上单调递增。反之，单调递减 |
| 奇偶性 | 函数图形关于原点对称为奇函数，关于y轴对称为偶函数。用公式表达为f(-x) = -f(x)为奇函数；f(-x) = f(x)为偶函数。 |
| 周期性 | y = f(x)，(x∈D)。若∃T > 0，对∀x∈D，x ± T ∈D，有f(x ± T) = f(x)，称f(x)是以T为周期的周期函数。 |
注：有界又可以分为有上界和有下界。函数f(x)有界的充要条件是，f(x)既有上界又有下界。
关于取整函数有以下内容
函数题目通常有求定义域，求反函数，证明有界性，单调性，奇偶性和周期性。
求定义域比较简单，可能有的限制有
求反函数的思路就是将y = f(x)转换成x = f(y)。本题目的关键点在于知道下面的一个等式
本题目需要明确几个知识点
| 情形 | 定义 |
|---|---|
| 数列极限的定义(ε - N) | 对∀ε > 0，∃N > 0，当n > N时，有|an - A| ≤ ε，称A为数列an的极限，记为 lim n → ∞ \lim_{n\rightarrow\infty} limn→∞an = A |
| 函数自变量趋于有限值的极限定义(ε - δ) | 对∀ε > 0，∃δ > 0，当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - A| < ε，称A为f(x)当x → \rightarrow →a时的极限，记为 lim x → \lim_{x\rightarrow} limx→af(x) = A |
| 函数自变量趋于无穷大的极限定义(ε - X) | 对∀ε > 0，∃X > 0，当|x| > X时，有|f(x) - A| < ε，称A为f(x)当 x → ∞ x\rightarrow\infty x→∞时的极限，记为 lim x → ∞ \lim_{x\rightarrow\infty} limx→∞f(x) = A |
| 自变量趋于 − ∞ -\infty −∞时的极限定义 | 对∀ε > 0，∃X > 0，当x < -X时，有|f(x) - A| < ε，称A为f(x)当 x → − ∞ x\rightarrow-\infty x→−∞时的极限，记为 lim x → − ∞ \lim_{x\rightarrow-\infty} limx→−∞f(x) = A |
| 自变量趋于 + ∞ +\infty +∞时的极限定义 | 对∀ε > 0，∃X > 0，当x > X时，有|f(x) - A| < ε，称A为f(x)当 x → + ∞ x\rightarrow+\infty x→+∞时的极限，记为 lim x → + ∞ \lim_{x\rightarrow+\infty} limx→+∞f(x) = A |
| 性质 | 叙述 |
|---|---|
| 唯一性 | 若极限存在，则极限一定是唯一的 |
| 保号性 | lim x → \lim_{x\rightarrow} limx→af(x) = A > 0，则存在δ > 0，当0 < |x - a| < δ时，有f(x) > 0。函数极限正，则去心邻域正；函数极限负，则去心邻域负。 |
| 数列极限的有界性 | 极限存在，数列必有界；反之，不对。 |
| 函数极限的局部有界性 | 函数在某点的极限存在，则函数在其去心邻域内一定有界。 |
| 数列极限于子列极限的关系 | (1) 若数列极限存在，则该数列的任意子列存在相同的极限；(2) 若任意子列极限存在，则该数列极限不一定存在。 |
对于极限的保号性有两条推论
值得注意的是上面是≥和≤，如果改成>和<，则不一定正确。`
首先介绍一下极限的四则运算性质。设lim f(x) = A，lim g(x) = B。
需要注意的是，如果lim f(x)或者lim g(x)不存在，则上面的性质不成立。
复合函数极限运算性质
划重点
（数列型）设an ≤ bn ≤ cn，若 lim n → ∞ \lim_{n\rightarrow\infty} limn→∞an = A， lim n → ∞ \lim_{n\rightarrow\infty} limn→∞cn = A，则 lim n → ∞ \lim_{n\rightarrow\infty} limn→∞bn = A
（函数型）设f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，lim f(x) = lim h(x) = A，则lim g(x) = A
需要注意的是，夹逼定理中的lim f(x) = lim h(x) = A，不可以用lim [f(x) - h(x)] = 0代替。
若 lim x → \lim_{x\rightarrow} limx→aα(x) = 0，称α(x)当x → \rightarrow →a时为无穷小。
设α
→
\rightarrow
→ 0，β
→
\rightarrow
→ 0，若lim
β
α
\frac{β}{α}
αβ = 0，称β为α的高阶无穷小，记为β = o(α)。
若lim
α
β
\frac{α}{β}
βα = k（k ≠ 0），称β为α的同阶无穷小，记为β = O(α)。
若lim
α
β
\frac{α}{β}
βα = 1，称β为α的等价无穷小，记为α ~ β。
无穷小的基本性质
等价无穷小的性质
x → 0 \rightarrow\ 0 → 0时，常用的一些等价无穷小
| 常用的等价无穷小 |
|---|
| x ~ sinx ~ tanx ~ arcsinx ~ arctantx ~ ln(1 + x) ~ ex - 1 |
| 1 - cosx ~ x 2 2 \frac{x^2}{2} 2x2 |
| 1 - cosax ~ a 2 \frac{a}{2} 2ax2 |
| (1 + x)a - 1 ~ ax (a ≠ 0) |
| ax - 1 ~ xlna |
lim
Δ
→
0
s
i
n
Δ
Δ
\lim_{Δ\rightarrow\ 0}\frac{sinΔ}{Δ}
limΔ→ 0ΔsinΔ = 1
lim
Δ
→
0
\lim_{Δ\rightarrow\ 0}
limΔ→ 0(1 + Δ)1/Δ = e
紧扣定义即可
利用保号性判断极值点有两种方法
本题需要明确以下内容
本题需要明确以下知识点
求极限有常规的化简直接求，也有用到泰勒公式展开，二项式定理，或者用到夹逼定理，无穷小等价和两个重要极限来求。
本题需要明确以下知识点
本题使用夹逼定理。
本题使用夹逼定理，关键点在于知道n! ≥ n(n - 1)(n - 2) (n ≥ 3)
本题利用夹逼定理求出函数f(x)的表达式，然后计算积分。
本题使用两个常用的极限来求解。
函数f(x)在[a,b]上连续 —— 设函数f(x)在[a,ba]上有定义，若满足
称函数f(x)在[a,b]上连续，记为f(x) ∈ [a,b]。
划重点
若 lim x → a \lim_{x\rightarrow\ a} limx→ af(x) ≠ f(a)，称f(x)在x = a处不连续，且x = a为f(x)的间断点。间断点的分类如下
| 间断点 | 描述 |
|---|---|
| 第一类间断点 | 若f(a - 0)，f(a + 0)都存在，称x = a为f(x)的第一类间断点，即左右极限都存在，但是不等于函数值 |
| 可去间断点 | 若f(a - 0) = f(a + 0) ≠ f(a)，称x = a为f(x)的可去间断点，即左右极限存在且相等，但是不等于函数值 |
| 跳跃间断点 | 若f(a - 0) ≠ f(a + 0)，称x = a为f(x)的跳跃间断点，即左极限不等于右极限 |
| 第二类间断点 | 若f(a - 0)，f(a + 0)至少有一个不存在，称x = a为f(x)的第二类间断点 |
| 性质 | 描述 |
|---|---|
| 最值定理 | 若f(x) ∈ [a,b]，则f(x)在[a,b]上一定存在最大值和最小值 |
| 有界定理 | 若f(x) ∈ [a,b]，则f(x)在[a,b]上一定有界 |
| 零点定理 | 若f(x) ∈ [a,b]，且f(a)f(b) < 0，则存在ξ ∈ (a,b)，使得f(ξ) = 0 |
| 介值定理 | 若f(x) ∈ [a,b]，对任意的η ∈ [m,M]，则存在ξ ∈ [a,b]，使得f(ξ) = η |
划重点
通常是看函数无定义的点，讨论左右极限，根据定义判断间断点类型。
本题需要明确以下知识点
