迭代 numpy 数组列的所有成对组合

我有一个大小为 numpy 的数组

arr.size = (200, 600, 20). 

我想计算scipy.stats.kendalltau在最后两个维度的每个成对组合上。例如：

kendalltau(arr[:, 0, 0], arr[:, 1, 0])
kendalltau(arr[:, 0, 0], arr[:, 1, 1])
kendalltau(arr[:, 0, 0], arr[:, 1, 2])
...
kendalltau(arr[:, 0, 0], arr[:, 2, 0])
kendalltau(arr[:, 0, 0], arr[:, 2, 1])
kendalltau(arr[:, 0, 0], arr[:, 2, 2])
...
...
kendalltau(arr[:, 598, 20], arr[:, 599, 20])

这样我就涵盖了所有组合arr[:, i, xi] with arr[:, j, xj] with i < j and xi in [0,20), xj in [0, 20)。这是(600 choose 2) * 400单独计算，但由于每个都需要大约0.002 s在我的机器上，使用多处理模块不会花费超过一天的时间。

迭代这些列的最佳方法是什么（使用i<j）？我想我应该避免类似的事情

for i in range(600):
    for j in range(i+1, 600):
        for xi in range(20):
            for xj in range(20):

做到这一点最数字化的方法是什么？

Edit:我更改了标题，因为肯德尔·陶 (Kendall Tau) 对这个问题来说并不重要。我意识到我也可以做类似的事情

import itertools as it
for i, j in it.combinations(xrange(600), 2):
    for xi, xj in product(xrange(20), xrange(20)):

但 numpy 必须有一种更好、更矢量化的方法。

对此类内容进行矢量化的一般方法是使用广播来创建集合与其自身的笛卡尔积。在你的情况下你有一个数组arr形状的(200, 600, 20)，所以你会对它有两种看法：

arr_x = arr[:, :, np.newaxis, np.newaxis, :] # shape (200, 600, 1, 1, 20)
arr_y = arr[np.newaxis, np.newaxis, :, :, :] # shape (1, 1, 200, 600, 20)

为了清楚起见，上面两行已被扩展，但我通常会编写等效的内容：

arr_x = arr[:, :, None, None]
arr_y = arr

如果你有一个向量化函数，f，在除最后一个维度之外的所有维度上进行广播，然后您可以执行以下操作：

out = f(arr[:, :, None, None], arr)

进而out将是一个形状数组(200, 600, 200, 600), with out[i, j, k, l]持有的价值f(arr[i, j], arr[k, l])。例如，如果您想计算所有成对内积，您可以这样做：

from numpy.core.umath_tests import inner1d

out = inner1d(arr[:, :, None, None], arr)

很遗憾scipy.stats.kendalltau不是这样矢量化的。根据the docs

“如果数组不是一维的，它们将被展平为一维。”

所以你不能像这样去做，你最终会做 Python 嵌套循环，无论是显式地写出来，使用itertools或将其隐藏在np.vectorize。这会很慢，因为对 Python 变量进行迭代，并且每个迭代步骤都有一个 Python 函数，这都是昂贵的操作。

请注意，当您可以采用矢量化方式时，有一个明显的缺点：如果您的函数是可交换的，即如果f(a, b) == f(b, a)，那么您将执行所需计算的两倍。根据实际计算的成本，这通常会被没有任何 Python 循环或函数调用的速度增加所抵消。