数字图像处理——滤波器

本文内容参考《数字图像处理基础》Wilhelm Burger等著。
“点运算”是在不改变图像大小、几何形状以及局部结构的情况下，对像素值进行修改，新图像的像素值只与原图像同一位置的像素值有关。
“滤波器”一般会用到原图像中的多个像素来计算每个新像素，一个滤波器用一个“滤波矩阵”（或“滤波模板”）表示，它的重要参数包括“滤波区域的尺寸”、“滤波区域的形状”。

线性滤波器：线性卷积(可交换性、线性性、结合性、x/y可分离性)

一、平滑滤波器：将图像中某一区域内的像素进行加权平均。
（1.）箱式滤波器：

$$\begin{pmatrix} 0&0&0&0&0\\0&1&1&1&0\\0&1&1&1&0\\0&1&1&1&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}$$
侧面急剧截断，频域性能不稳定。
低通滤波（削减信号中给定截止频率之上的频率成分）。
（2.）高斯滤波器：
滤波矩阵足够大( 5×5 $5\times5$)相当于离散的二维高斯函数：
$$G_{\sigma}(x,y)=e^{-\frac{x^2+y^2}{2{\sigma}^2}}$$
“一个二维高斯滤波器”可以分解成“一对一维滤波器”。
（3.）差分滤波器:
滤波矩阵中有一些滤波系数是负数。
差分滤波器的应用：图像的边缘增强、图像锐化。

非线性滤波器：

（1.）最小值与最大值滤波（如，椒盐噪声）

$$I^{'}(u,v)\gets \min{I(u+i,v+j)|(i,j)\in R}$$
$$I^{'}(u,v)\gets \max{I(u+i,v+j)|(i,j)\in R}$$
其中 R $R$表示滤波区域，即要用进行滤波的矩阵块坐标集合。
（2.）中值滤波
对应滤波区域R$R$内像素值的中值作为对应点的新像素，即将滤波区域的像素值从小到大排序，取排序后的中位数。
$$median(p_{0},p_{1},\cdots,p_{K-1},p_{K},p_{K+1},\cdots,p_{2K})=p_{K}$$
（3.）加权中值滤波
为滤波区域中的每个位置分配一个独立的权值，对应像素值的“投票次数”，记权值矩阵为 W(i,j) $W(i,j)$。
比如 $$I(u,v)=\begin{pmatrix} 3&7&2\\1&0&0\\9&5&8 \end{pmatrix},W(i,j)=\begin{pmatrix} 1&2&1\\2&3&2\\1&2&1 \end{pmatrix}$$
则需要对 $$3,7,7,2,1,1,0,0,0,0,0,9,5,5,8$$ 进行排序取中位数，得 pk=2 $p_{k}=2$，所以 I′(u,v)=2 $I^{'}(u,v)=2$。

图像边界的处理：即图像像素数组的边界替换方案。

（a.）将未处理的边界赋值常像素值
（b.）将未处理的边界赋值为原图像同位置的像素值
（c.）在边界外额外填充像素延展图像：镜像处理，周期重复

形态学滤波：以某种方式改变二维图像的结构。

I(u,v) $I(u,v)$是原图像素， H(i,j) $H(i,j)$是结构矩阵。

膨胀：可交换性，结合性

$$I+H=\{p+q|p\in I且q\in H\}$$

腐蚀

$$I-H=\{p\in I|p+q\in I,对所用的q\in H\}$$

开运算：先腐蚀再膨胀，去除小结构
闭运算：先膨胀后腐蚀，填补空洞和缝隙