假设有人想要找到给定正弦波信号的周期。从我在网上读到的内容来看，两种主要方法似乎采用傅里叶分析或自相关。我正在尝试使用 python 自动化该过程，我的用例是将这个概念应用于来自绕恒星运行的模拟物体的位置（或速度或加速度）时间序列的类似信号。
为了简单起见，考虑x = sin(t) for 0 ≤ t ≤ 10 pi.
import numpy as np
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt
## sample data
t = np.linspace(0, 10 * np.pi, 100)
x = np.sin(t)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(t, x, color='b', marker='o')
ax.grid(color='k', alpha=0.3, linestyle=':')
plt.show()
plt.close(fig)
给定以下形式的正弦波x = a sin(b(t+c)) + d，正弦波的周期为2 * pi / b. Since b=1（或通过目视检查），我们的正弦波的周期是2 * pi。我可以根据此基线检查从其他方法获得的结果。
尝试 1：自相关
据我了解（如果我错了，请纠正我），相关性可用于查看一个信号是否是另一个信号的时滞副本（类似于余弦和正弦相差相位差）。因此，自相关是针对自身测试信号，以测量时滞重复所述信号的时间。使用此处发布的示例:
result = np.correlate(x, x, mode='full')
Since x and t每个由100元素和result由组成199元素，我不知道为什么我应该任意选择最后一个100元素。
print("\n autocorrelation (shape={}):\n{}\n".format(result.shape, result))
autocorrelation (shape=(199,)):
[ 0.00000000e+00 -3.82130761e-16 -9.73648712e-02 -3.70014208e-01
-8.59889695e-01 -1.56185995e+00 -2.41986054e+00 -3.33109112e+00
-4.15799070e+00 -4.74662427e+00 -4.94918053e+00 -4.64762251e+00
-3.77524157e+00 -2.33298717e+00 -3.97976240e-01 1.87752669e+00
4.27722402e+00 6.54129270e+00 8.39434617e+00 9.57785701e+00
9.88331103e+00 9.18204933e+00 7.44791758e+00 4.76948221e+00
1.34963425e+00 -2.50822289e+00 -6.42666652e+00 -9.99116299e+00
-1.27937834e+01 -1.44791297e+01 -1.47873668e+01 -1.35893098e+01
-1.09091510e+01 -6.93157447e+00 -1.99159756e+00 3.45267493e+00
8.86228186e+00 1.36707567e+01 1.73433176e+01 1.94357232e+01
1.96463736e+01 1.78556800e+01 1.41478477e+01 8.81191526e+00
2.32100171e+00 -4.70897483e+00 -1.15775811e+01 -1.75696560e+01
-2.20296487e+01 -2.44327920e+01 -2.44454330e+01 -2.19677060e+01
-1.71533510e+01 -1.04037163e+01 -2.33560966e+00 6.27458308e+00
1.45655029e+01 2.16769872e+01 2.68391837e+01 2.94553896e+01
2.91697473e+01 2.59122266e+01 1.99154591e+01 1.17007613e+01
2.03381596e+00 -8.14633251e+00 -1.78184255e+01 -2.59814393e+01
-3.17580589e+01 -3.44884934e+01 -3.38046447e+01 -2.96763956e+01
-2.24244433e+01 -1.26974172e+01 -1.41464998e+00 1.03204331e+01
2.13281784e+01 3.04712823e+01 3.67721634e+01 3.95170295e+01
3.83356037e+01 3.32477037e+01 2.46710643e+01 1.33886439e+01
4.77778141e-01 -1.27924775e+01 -2.50860560e+01 -3.51343866e+01
-4.18671622e+01 -4.45258983e+01 -4.27482779e+01 -3.66140001e+01
-2.66465884e+01 -1.37700036e+01 7.76494745e-01 1.55574483e+01
2.90828312e+01 3.99582426e+01 4.70285203e+01 4.95000000e+01
4.70285203e+01 3.99582426e+01 2.90828312e+01 1.55574483e+01
7.76494745e-01 -1.37700036e+01 -2.66465884e+01 -3.66140001e+01
-4.27482779e+01 -4.45258983e+01 -4.18671622e+01 -3.51343866e+01
-2.50860560e+01 -1.27924775e+01 4.77778141e-01 1.33886439e+01
2.46710643e+01 3.32477037e+01 3.83356037e+01 3.95170295e+01
3.67721634e+01 3.04712823e+01 2.13281784e+01 1.03204331e+01
-1.41464998e+00 -1.26974172e+01 -2.24244433e+01 -2.96763956e+01
-3.38046447e+01 -3.44884934e+01 -3.17580589e+01 -2.59814393e+01
-1.78184255e+01 -8.14633251e+00 2.03381596e+00 1.17007613e+01
1.99154591e+01 2.59122266e+01 2.91697473e+01 2.94553896e+01
2.68391837e+01 2.16769872e+01 1.45655029e+01 6.27458308e+00
-2.33560966e+00 -1.04037163e+01 -1.71533510e+01 -2.19677060e+01
-2.44454330e+01 -2.44327920e+01 -2.20296487e+01 -1.75696560e+01
-1.15775811e+01 -4.70897483e+00 2.32100171e+00 8.81191526e+00
1.41478477e+01 1.78556800e+01 1.96463736e+01 1.94357232e+01
1.73433176e+01 1.36707567e+01 8.86228186e+00 3.45267493e+00
-1.99159756e+00 -6.93157447e+00 -1.09091510e+01 -1.35893098e+01
-1.47873668e+01 -1.44791297e+01 -1.27937834e+01 -9.99116299e+00
-6.42666652e+00 -2.50822289e+00 1.34963425e+00 4.76948221e+00
7.44791758e+00 9.18204933e+00 9.88331103e+00 9.57785701e+00
8.39434617e+00 6.54129270e+00 4.27722402e+00 1.87752669e+00
-3.97976240e-01 -2.33298717e+00 -3.77524157e+00 -4.64762251e+00
-4.94918053e+00 -4.74662427e+00 -4.15799070e+00 -3.33109112e+00
-2.41986054e+00 -1.56185995e+00 -8.59889695e-01 -3.70014208e-01
-9.73648712e-02 -3.82130761e-16 0.00000000e+00]
尝试 2：傅立叶
由于我不知道从上次的尝试到哪里去，我寻求新的尝试。据我了解，傅立叶分析基本上将信号从时域转移到时域（x(t) vs t) 到/从频域 (x(t) vs f=1/t）；频率空间中的信号应显示为随时间衰减的正弦波。该周期是从最常观察到的频率获得的，因为这是频率分布峰值的位置。
由于我的值都是实值，应用傅里叶变换应该意味着我的输出值都是复值。我不认为这是一个问题，除了以下事实：scipy 有实值方法。我不完全理解所有不同 scipy 方法之间的差异。这使得遵循中提出的算法这个发布的解决方案我很难理解（即，如何/为什么选择阈值？）。
omega = np.fft.fft(x)
freq = np.fft.fftfreq(x.size, 1)
threshold = 0
idx = np.where(abs(omega)>threshold)[0][-1]
max_f = abs(freq[idx])
print(max_f)
这输出0.01，意味着周期是1/0.01 = 100。这也没有道理。
尝试 3：功率谱密度
根据scipy 文档，我应该能够使用周期图来估计信号的功率谱密度（psd）（其中，根据维基百科，是自相关函数的傅里叶变换）。通过选择主频率fmax信号达到峰值时，信号的周期可由下式获得：1 / fmax.
freq, pdensity = signal.periodogram(x)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(freq, pdensity, color='r')
ax.grid(color='k', alpha=0.3, linestyle=':')
plt.show()
plt.close(fig)
下面显示的周期图峰值位于49.076...频率为fmax = 0.05. So, period = 1/fmax = 20。这对我来说没有意义。我感觉这与采样率有关，但不知道是否足以确认或进一步进展。
我意识到我在理解这些东西如何运作方面缺少一些基本的差距。网上资源很多，但大海捞针却很难。有人可以帮助我了解更多相关信息吗？
让我们首先看看你的信号（我已经添加了endpoint=False使划分均匀）：
t = np.linspace(0, 10*np.pi, 100, endpoint=False)
x = np.sin(t)
让我们划分弧度（本质上是通过取t /= 2*np.pi）并通过与频率相关来创建相同的信号：
fs = 20 # Sampling rate of 100/5 = 20 (e.g. Hz)
f = 1 # Signal frequency of 1 (e.g. Hz)
t = np.linspace(0, 5, 5*fs, endpoint=False)
x = np.sin(2*np.pi*f*t)
这使得它更加突出f/fs == 1/20 == 0.05（即信号的周期正好是 20 个样本）。正如您已经猜到的那样，数字信号中的频率始终与其采样率相关。请注意，无论 的值是多少，实际信号都是完全相同的f and fs是，只要它们的比率相同：
fs = 1 # Natural units
f = 0.05
t = np.linspace(0, 100, 100*fs, endpoint=False)
x = np.sin(2*np.pi*f*t)
下面我将使用这些自然单位（fs = 1）。唯一的区别在于t以及生成的频率轴。
您对自相关函数作用的理解是正确的。它检测信号与其自身的时滞版本的相关性。它通过将信号滑过自身来实现这一点，如右列所示（来自维基百科):
请注意，由于相关函数的两个输入相同，所得信号必然是对称的。这就是为什么输出np.correlate通常是从中间切开：
acf = np.correlate(x, x, 'full')[-len(x):]
现在索引 0 对应于信号的两个副本之间的 0 延迟。
接下来，您需要找到呈现最大相关性的索引或延迟。由于重叠缩小，默认情况下索引也为 0，因此以下内容将不起作用：
acf.argmax() # Always returns 0
相反，我建议找到最大的peak相反，峰值被定义为值大于其直接邻居的任何索引：
inflection = np.diff(np.sign(np.diff(acf))) # Find the second-order differences
peaks = (inflection < 0).nonzero()[0] + 1 # Find where they are negative
delay = peaks[acf[peaks].argmax()] # Of those, find the index with the maximum value
Now delay == 20，它告诉您信号的频率为1/20其采样率：
signal_freq = fs/delay # Gives 0.05
您使用以下公式来计算 FFT：
omega = np.fft.fft(x)
freq = np.fft.fftfreq(x.size, 1)
这些函数针对复值信号重新设计。它们适用于实值信号，但您将获得对称输出，因为负频率分量将与正频率分量相同。 NumPy 为实值信号提供单独的函数：
ft = np.fft.rfft(x)
freqs = np.fft.rfftfreq(len(x), t[1]-t[0]) # Get frequency axis from the time axis
mags = abs(ft) # We don't care about the phase information here
我们来看一下：
plt.plot(freqs, mags)
plt.show()
请注意两件事：峰值位于频率 0.05 处，轴上的最大频率为 0.5（奈奎斯特频率，恰好是采样率的一半）。如果我们选择了fs = 20，这将是 10。
现在让我们找出最大值。您尝试过的阈值方法can工作，但目标频率仓是盲目选择的，因此该方法在存在其他信号的情况下会受到影响。我们可以只选择最大值：
signal_freq = freqs[mags.argmax()] # Gives 0.05
然而，如果例如我们有一个大的直流偏移（因此索引 0 中有一个大的分量），这就会失败。在这种情况下，我们可以再次选择最高峰，以使其更加稳健：
inflection = np.diff(np.sign(np.diff(mags)))
peaks = (inflection < 0).nonzero()[0] + 1
peak = peaks[mags[peaks].argmax()]
signal_freq = freqs[peak] # Gives 0.05
如果我们选择了fs = 20，这会给signal_freq == 1.0由于生成频率轴的时间轴不同。
这里的方法本质上是一样的。自相关函数为x具有相同的时间轴和周期x，所以我们可以使用上面的 FFT 来找到信号频率：
pdg = np.fft.rfft(acf)
freqs = np.fft.rfftfreq(len(x), t[1]-t[0])
plt.plot(freqs, abs(pdg))
plt.show()
这条曲线显然与直接 FFT 的特性略有不同x，但主要要点是相同的：频率轴的范围是0 to 0.5*fs，我们在与之前相同的信号频率处找到一个峰值：freqs[abs(pdg).argmax()] == 0.05.
Edit:
测量实际的周期性np.sin，我们可以只使用我们传递给的“角度轴”np.sin生成频率轴时代替时间轴：
freqs = np.fft.rfftfreq(len(x), 2*np.pi*f*(t[1]-t[0]))
rad_period = 1/freqs[mags.argmax()] # 6.283185307179586
虽然这看起来毫无意义，对吧？我们传入2*np.pi我们得到2*np.pi。然而，我们可以对任何常规时间轴做同样的事情，而不需要预先假设pi在任何一点：
fs = 10
t = np.arange(1000)/fs
x = np.sin(t)
rad_period = 1/np.fft.rfftfreq(len(x), 1/fs)[abs(np.fft.rfft(x)).argmax()] # 6.25
当然，现在真正的价值位于两个箱子之间。这就是插值的用武之地以及选择合适的窗口函数的相关需求。