子序列个数——动态规划

题目：统计一个字符串中全部不同的子序列的个数
思路：动态规划求解
令 f[i] = 前 i 个元素中包含的全部子序列的个数
那么状态转移方程分为下面两种情况：

1. 当第 i 个元素在前面 i - 1 个字符中没有出现时， f[i] = f[i - 1] + f[i - 1] + 1。可以看出 f[i] 分为了三个部分，其中第一个 f[i - 1] 表示前面 i - 1 长度的字符串包含的子序列个数，第二个 f[i - 1] 表示在前面 i - 1 长度的字符串后面添加第 i 个字符，第三个 1 表示第 i 个字符单独构成一个字序列。
2. 当第 i 个元素在之前出现过时，f[i] = f[i - 1] + f[i - 1] - f[i 元素最后一次出现的位置 - 1]，第一个 f[i - 1] 时前面 i - 1 长度的字符串包含的子序列个数，第二个 f[i - 1] 表示在前面 i - 1 长度的字符串的所有子序列后面添加第 i 个字符，然而这种情况会出现重复，比如 2 3 1 4 3，（2 3）这个子序列出现了两次，那么需要 i 元素顶替上一个相同元素出现在子序列时的重复情况，这部分需要减去。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define MAXN 1000005
typedef long long ll;
int last[MAXN];
ll dp[MAXN];
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	int a;
	memeset(last, 0, sizeof(last));
	f[0] = 0; // 空集
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		cin >> a;
		if (last[a] == 0)
			dp[i] = 2 * dp[i - 1] % MOD + 1;
		else
			dp[i] = (2 * dp[i - 1] % MOD - dp[last[a] - 1] + MOD) % MOD;
		last[a] = i;
	}
	cout << dp[n] % MOD<< endl;
}