写递归函数的正确思维方法

size_t length(const char *str) {
  size_t length = 0;
  while (*str != 0) {
    ++length;
    ++str;
  }

  return length;
}
  

size_t length(const char *str) {
  if (*str == 0) {
    return 0;
  }
  return length(++str) + 1;
}
  

在初学递归的时候, 看到一个递归实现, 我们总是难免陷入不停的回溯验证之中, 因为回溯就像反过来思考迭代, 这是我们习惯的思维方式, 但是实际上递归不需要这样来验证. 比如, 另外一个常见的例子是阶乘的计算. 阶乘的定义: “一个正整数的阶乘（英语：factorial）是所有小于或等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。” 以下是Ruby的实现:

def factorial(n) 
  if n <= 1 then
    return 1
  else
    return n * factorial(n - 1)
  end
end
  

我们怎么判断这个阶乘的递归计算是否是正确的呢? 先别说测试, 我说我们读代码的时候怎么判断呢?
回溯的思考方式是这么验证的, 比如当n = 4时, 那么factoria(4)等于4 * factoria(3), 而factoria(3)等于3 * factoria(2), factoria(2)等于2 * factoria(1), 等于2 * 1, 所以factoria(4)等于4 * 3 * 2 * 1. 这个结果正好等于阶乘4的迭代定义.
用回溯的方式思考虽然可以验证当n = 某个较小数值是否正确, 但是其实无益于理解.
Paul Graham提到一种方法, 给我很大启发, 该方法如下:

1. 当n=0, 1的时候, 结果正确.
2. 假设函数对于n是正确的, 函数对n+1结果也正确.
   如果这两点是成立的，我们知道这个函数对于所有可能的n都是正确的。

这种方法很像数学归纳法, 也是递归正确的思考方式, 事实上, 阶乘的递归表达方式就是1!=1，n!=(n-1)!×n(见wiki). 当程序实现符合算法描述的时候, 程序自然对了, 假如还不对, 那是算法本身错了…… 相对来说, n,n+1的情况为通用情况, 虽然比较复杂, 但是还能理解, 最重要的, 也是最容易被新手忽略的问题在于第1点, 也就是基本用例(base case)要对. 比如, 上例中, 我们去掉if n <= 1的判断后, 代码会进入死循环, 永远不会结束.

使用递归

既然递归比迭代要难以理解, 为啥我们还需要递归呢? 从上面的例子来看, 自然意义不大, 但是很多东西的确用递归思维会更加简单……
经典的例子就是斐波那契数列, 在数学上, 斐波那契数列就是用递归来定义的:

·F0 = 0
·F1 = 1 
·Fn = Fn – 1 + Fn – 2

有了递归的算法, 用程序实现实在再简单不过了:

def fibonacci(n)
  if n == 0 then
    return 0
  elsif n == 1 then
    return 1
  else
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)
  end
end
  

改为用迭代实现呢? 你可以试试.
上面讲了怎么理解递归是正确的, 同时可以看到在有递归算法描述后, 其实程序很容易写, 那么最关键的问题就是, 我们怎么找到一个问题的递归算法呢?
Paul Graham提到, 你只需要做两件事情:

1. 你必须要示范如何解决问题的一般情况, 通过将问题切分成有限小并更小的子问题.
2. 你必须要示范如何通过有限的步骤, 来解决最小的问题(基本用例).
   如果这两件事完成了, 那问题就解决了. 因为递归每次都将问题变得更小, 而一个有限的问题终究会被解决的, 而最小的问题仅需几个有限的步骤就能解决.

这个过程还是数学归纳法的方法, 只不过和上面提到的一个是验证, 一个是证明.
现在我们用这个方法来寻找汉诺塔这个游戏的解决方法.(这其实是数学家发明的游戏)

有三根杆子A，B，C。A杆上有N个(N>1)穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至C杆：
1.每次只能移动一个圆盘.
2.大盘不能叠在小盘上面.

汉诺塔

这个游戏在只有3个盘的时候玩起来较为简单, 盘越多, 就越难, 玩进去后, 你就会进入一种不停的通过回溯来推导下一步该干什么的状态, 这是比较难的. 我记得第一次碰到这个游戏好像是在大航海时代某一代游戏里面, 当时就觉得挺有意思的. 推荐大家都实际的玩一下这个游戏, 试试你脑袋能想清楚几个盘的情况.
现在我们来应用Paul Graham的方法思考这个游戏.

一般情况:
当有N个圆盘在A上, 我们已经找到办法将其移到C杠上了, 我们怎么移动N+1个圆盘到C杠上呢? 很简单, 我们首先用将N个圆盘移动到C上的方法将N个圆盘都移动到B上, 然后再把第N+1个圆盘(最后一个)移动到C上, 再用同样的方法将在B杠上的N个圆盘移动到C上. 问题解决.

基本用例:
当有1个圆盘在A上, 我们直接把圆盘移动到C上即可.

算法描述大概就是上面这样了, 其实也可以看作思维的过程, 相对来说还是比较自然的. 下面是Ruby解:

def hanoi(n, from, to, other)
  if n == 1 then
    puts from + ' -> ' + to
  else
    hanoi(n-1, from, other, to)
    hanoi(1, from, to, other)
    hanoi(n-1, other, to, from)
  end
end
  

当n=3时的输出:

A -> C
A -> B
C -> B
A -> C
B -> A
B -> C
A -> C

上述代码中, from, to, other的作用其实也就是提供一个杆子的替代符, 在n=1时, 其实也就相当于直接移动. 看起来这么复杂的问题, 其实用递归这么容易, 没有想到吧. 要是想用迭代来解决这个问题呢? 还是你自己试试吧, 你试的越多, 就能越体会到递归的好处.

递归的问题

参考

1. Ansi Common Lisp
2. 精通递归程序设计 
3. http://blog.csdn.net/vagrxie/article/details/8470798