查找二叉树中最大独立集的大小 - 为什么错误的“解决方案”不起作用？

这是一个类似问题的链接，有一个很好的答案：Java算法寻找二叉树中最大的独立节点集.

我想出了一个不同的答案，但我的教授说这行不通，我想知道为什么（他不回复电子邮件）。

问题：

给定一个包含 n 个整数的数组 A，其索引从 0 开始（即A[0], A[1], …, A[n-1]）。我们可以将 A 解释为一棵二叉树，其中两个 的孩子A[i] are A[2i+1] and A[2i+2]，以及每个值 element 是树的节点权重。在这棵树中，我们说 如果顶点集不包含任何顶点，则它是“独立的” 亲子对。独立集合的权重就是 其元素的所有权重的总和。开发一种算法 计算任何独立组的最大重量。

我得出的答案使用了以下关于二叉树中独立集的两个假设：

1. 同一级别上的所有节点都是相互独立的。
2. 交替级别上的所有节点都是相互独立的（没有父/子关系）

警告：我在考试期间想出了这个，它并不漂亮，但我只是想看看我是否可以争取至少部分学分。

那么，为什么不能只构建两个独立的集合（一组用于奇数级别，一组用于偶数级别）？

如果每个集合中的任何权重都是非负的，则将它们相加（丢弃负元素，因为这不会对最大权重集合做出贡献）以找到具有最大权重的独立集合。

如果集合中的权重均为负数（或等于 0），则对其进行排序并返回最接近 0 的权重负数。

比较两个集合中每个集合中最大独立集合的权重，并将其作为最终解决方案返回。

我的教授声称这不起作用，但我不明白为什么。为什么行不通？

Interjay 已指出您的答案为何不正确。该问题可以用递归算法解决find-max-independent给定二叉树，考虑两种情况：

1. 假设根节点是，最大独立集是多少 包括？
2. 给定根节点，最大独立集是多少 不包括在内？

在情况 1 中，由于包含根节点，因此它的子节点都不能包含在内。因此我们将值相加find-max-independentroot 的孙子的值，加上 root 的值（必须包含在内），然后返回该值。

在情况 2 中，我们返回最大值find-max-independent子节点的数量（如果有的话）（我们只能选择一个）

该算法可能看起来像这样（在 python 中）：

def find_max_independent ( A ):
    N=len(A)

    def children ( i ):
        for n in (2*i+1, 2*i+2):
            if n<N: yield n

    def gchildren ( i ):
        for child in children(i):
            for gchild in children(child):
                yield gchild

    memo=[None]*N

    def rec ( root ):
        "finds max independent set in subtree tree rooted at root. memoizes results"

        assert(root<N)

        if memo[root] != None:
            return memo[root]

        # option 'root not included': find the child with the max independent subset value
        without_root = sum(rec(child) for child in children(root))

        # option 'root included': possibly pick the root
        # and the sum of the max value for the grandchildren
        with_root =  max(0, A[root]) + sum(rec(gchild) for gchild in gchildren(root))

        val=max(with_root, without_root)
        assert(val>=0)
        memo[root]=val

        return val


    return rec(0) if N>0 else 0

一些测试用例说明：

tests=[
    [[1,2,3,4,5,6], 16], #1
    [[-100,2,3,4,5,6], 6], #2
    [[1,200,3,4,5,6], 200], #3
    [[1,2,3,-4,5,-6], 6], #4
    [[], 0],
    [[-1], 0],
]

for A, expected in tests:
    actual=find_max_independent(A)
    print("test: {}, expected: {}, actual: {} ({})".format(A, expected, actual, expected==actual))

示例输出：

test: [1, 2, 3, 4, 5, 6], expected: 16, actual: 16 (True)
test: [-100, 2, 3, 4, 5, 6], expected: 15, actual: 15 (True)
test: [1, 200, 3, 4, 5, 6], expected: 206, actual: 206 (True)
test: [1, 2, 3, -4, 5, -6], expected: 8, actual: 8 (True)
test: [], expected: 0, actual: 0 (True)
test: [-1], expected: 0, actual: 0 (True)

测试用例1

测试用例2

测试用例3

测试用例4

记忆算法的复杂度为O(n), since rec(n)每个节点调用一次。这是使用深度优先搜索的自上而下的动态规划解决方案。

（测试用例插图由 leetcode 的交互式二叉树编辑器提供）