仅仅将其分为实部和虚部有什么问题吗？scipy.integrate.quad要求集成函数为其使用的算法返回浮点数（也称为实数）。
import scipy
from scipy.integrate import quad
def complex_quadrature(func, a, b, **kwargs):
def real_func(x):
return scipy.real(func(x))
def imag_func(x):
return scipy.imag(func(x))
real_integral = quad(real_func, a, b, **kwargs)
imag_integral = quad(imag_func, a, b, **kwargs)
return (real_integral[0] + 1j*imag_integral[0], real_integral[1:], imag_integral[1:])
E.g.,
>>> complex_quadrature(lambda x: (scipy.exp(1j*x)), 0,scipy.pi/2)
((0.99999999999999989+0.99999999999999989j),
(1.1102230246251564e-14,),
(1.1102230246251564e-14,))
这是您期望的舍入误差 - exp(i x) 从 0 开始的积分，pi/2 为 (1/i)(e^i pi/2 - e^0) = -i(i - 1) = 1 +我〜（0.99999999999999989+0.99999999999999989j）。
为了避免大家不是 100% 清楚，积分是一个线性函数，这意味着 ∫ { f(x) + k g(x) } dx = ∫ f(x) dx + k ∫ g(x ) dx （其中 k 是相对于 x 的常数）。或者对于我们的具体情况 ∫ z(x) dx = ∫ Re z(x) dx + i ∫ Im z(x) dx 为 z(x) = Re z(x) + i Im z(x)。
如果您尝试对复平面中的路径（而不是沿实轴）或复平面中的区域进行积分，则需要更复杂的算法。
注意：Scipy.integrate不会直接处理复杂的集成。为什么？它在 FORTRAN 中完成繁重的工作QUADPACK图书馆，特别是在qagse.f它明确要求函数/变量在执行“基于每个子区间内的 21 点高斯-克朗罗德求积的全局自适应求积，并通过 Peter Wynn 的 epsilon 算法加速”之前必须是实数。因此，除非您想尝试修改底层 FORTRAN 以使其能够处理复数，并将其编译到新的库中，否则您将无法让它工作。
如果您确实想在一次积分中对复数进行 Gauss-Kronrod 方法，请查看维基百科页面并直接按照下面的方式实施（使用 15 点、7 点规则）。请注意，我记忆了函数以重复对公共变量的公共调用（假设函数调用很慢，就好像该函数非常复杂一样）。也只做了 7 点和 15 点规则，因为我不想自己计算节点/权重，这些是维基百科上列出的，但测试用例出现合理的错误（~1e-14）
import scipy
from scipy import array
def quad_routine(func, a, b, x_list, w_list):
c_1 = (b-a)/2.0
c_2 = (b+a)/2.0
eval_points = map(lambda x: c_1*x+c_2, x_list)
func_evals = map(func, eval_points)
return c_1 * sum(array(func_evals) * array(w_list))
def quad_gauss_7(func, a, b):
x_gauss = [-0.949107912342759, -0.741531185599394, -0.405845151377397, 0, 0.405845151377397, 0.741531185599394, 0.949107912342759]
w_gauss = array([0.129484966168870, 0.279705391489277, 0.381830050505119, 0.417959183673469, 0.381830050505119, 0.279705391489277,0.129484966168870])
return quad_routine(func,a,b,x_gauss, w_gauss)
def quad_kronrod_15(func, a, b):
x_kr = [-0.991455371120813,-0.949107912342759, -0.864864423359769, -0.741531185599394, -0.586087235467691,-0.405845151377397, -0.207784955007898, 0.0, 0.207784955007898,0.405845151377397, 0.586087235467691, 0.741531185599394, 0.864864423359769, 0.949107912342759, 0.991455371120813]
w_kr = [0.022935322010529, 0.063092092629979, 0.104790010322250, 0.140653259715525, 0.169004726639267, 0.190350578064785, 0.204432940075298, 0.209482141084728, 0.204432940075298, 0.190350578064785, 0.169004726639267, 0.140653259715525, 0.104790010322250, 0.063092092629979, 0.022935322010529]
return quad_routine(func,a,b,x_kr, w_kr)
class Memoize(object):
def __init__(self, func):
self.func = func
self.eval_points = {}
def __call__(self, *args):
if args not in self.eval_points:
self.eval_points[args] = self.func(*args)
return self.eval_points[args]
def quad(func,a,b):
''' Output is the 15 point estimate; and the estimated error '''
func = Memoize(func) # Memoize function to skip repeated function calls.
g7 = quad_gauss_7(func,a,b)
k15 = quad_kronrod_15(func,a,b)
# I don't have much faith in this error estimate taken from wikipedia
# without incorporating how it should scale with changing limits
return [k15, (200*scipy.absolute(g7-k15))**1.5]
测试用例：
>>> quad(lambda x: scipy.exp(1j*x), 0,scipy.pi/2.0)
[(0.99999999999999711+0.99999999999999689j), 9.6120083407040365e-19]
我不相信错误估计——我从 wiki 中获取了一些内容作为从 [-1 到 1] 集成时推荐的错误估计，并且这些值对我来说似乎不合理。例如，与真实情况相比，上述错误是 ~5e-15 而不是 ~1e-19。我确信如果有人查阅了 num 食谱，您可以获得更准确的估计。 （可能必须乘以(a-b)/2某种力量或类似的东西）。
回想一下，Python 版本的准确度不如仅调用 scipy 的基于 QUADPACK 的集成两次。 （如果需要，您可以对其进行改进）。
