Numpy 似乎产生了不正确的特征向量

我想使用 Numpy 计算特征值和特征向量。这是我的代码：

import numpy as np
from numpy import linalg as LA

lapl = np.array(
       [[ 2, -1, -1,  0,  0,  0],
        [-1,  3,  0, -1,  0, -1],
        [-1,  0,  2, -1,  0,  0],
        [ 0, -1, -1,  3, -1,  0],
        [ 0,  0,  0, -1,  2, -1],
        [ 0, -1,  0,  0, -1,  2]])

w, v = LA.eigh(lapl)

print ('Eigenvalues:', np.round(w,0))
print ('Eigenvectors:', np.round(v,2))

结果如下：

Eigenvalues: [ 0.  1.  2.  3.  3.  5.]
Eigenvectors: [[ 0.41  0.5   0.41 -0.46  0.34  0.29]
               [ 0.41  0.    0.41  0.53  0.23 -0.58]
               [ 0.41  0.5  -0.41 -0.07 -0.57 -0.29]
               [ 0.41  0.   -0.41  0.53  0.23  0.58]
               [ 0.41 -0.5  -0.41 -0.46  0.34 -0.29]
               [ 0.41 -0.5   0.41 -0.07 -0.57  0.29]]

然而，当我在 Wolfram Alpha 中运行相同的矩阵时，我得到了不同的结果 - 特征值相同，但特征向量不同：

v1 = ( 1, -2, -1,  2, -1,  1)
v2 = ( 0, -1,  1, -1,  0,  1)
v3 = ( 1, -1,  0, -1,  1,  0)
v4 = ( 1,  1, -1, -1, -1,  1)
v5 = (-1,  0, -1,  0,  1,  1)
v6 = ( 1,  1,  1,  1,  1,  1)

以下是 Wolfram Alpha 计算的链接：http://bit.ly/1wC9EHJ

为什么我得到不同的结果？我应该在 Python 中做什么才能得到与 Alpha 产生的结果相同的结果？

非常感谢您的帮助！

由于多种原因，结果有所不同：

1. 您可能注意到了，numpy 矩阵v包含水平堆叠的特征向量columns，当您打印 Wolfram 结果时v1 to v6 as rows.

2. The scale特征向量（或长度）未定义。所以它通常缩放为长度 1。Wolfram 结果的缩放方式不同，我猜这会引起一些混乱。

3. 请注意，通过缩放向量，即使sign可以换。这就是为什么积极和消极的因素可能会颠倒。

4. 最后但并非最不重要的一点是：order特征向量的数量是未定义的，只要它们与相应的特征值具有相同的顺序即可。因此，您还需要查看 Wolfram 的特征值，并可能重新排序v1 to v6因此。 （按特征值大小排序是一种常见的约定。Wolfram 似乎按降序排序，而 numpy 则按升序排序。）

5. 如果矩阵有非唯一特征值，相应的特征向量可以任意旋转，只要它们跨越相应的子空间即可。但是，在您的示例中似乎并非如此。

考虑到前 4 个问题，结果实际上非常接近。奇点并不重要，因为只有一个零特征值，因此相应的特征向量是唯一的（直到符号和长度）。