第一部分 数学基础课程
一、（共5分）用逻辑符号表达下列语句（论域为包含一切事物的合集）
- （2分）确诊者并不都有症状（注：需给出两种形式表达，一种用存在量词，一种用全称量词）
答：
F(x): x是确诊者，G(x):x有症状
∃x(F(x)∧¬G(x))
¬∀x(F(x) →G(x)) - （3分）有些老人不喜欢宠物
答：
F(x): x是老人，G(x):x是宠物，L(x,y): x喜欢y
∃x(F(x)∧∀y(G(y) →¬L(x, y)))
二、填空题（第1小题每空1分，第2~3小题每空2分，共6分）
-
设集合A有50个元素，则由集合A可构成___250(2的50次方)_____个子集。其中有___249(2的49次方)_____个子集其元素个数为奇数。
-
让5位中国籍学生和5位英国籍学生排成一排，要求中国籍学生和英国籍学生交叉出现，即同国籍的学生不能相邻，则有__2*5!*5!____种不同的排法。
-
函数
f
(
x
)
=
(
1
−
3
x
)
−
2
f(x)=(1-3x)^{-2}
f(x)=(1−3x)−2中，
x
4
x^4
x4的系数是_
5
∗
3
4
5*3^4
5∗34_____.
三、计算题（共9分）
- （5分）由P↑Q=¬(P∧Q)，试仅用与非联结词↑分别表示出：
（1）¬P
（2）P∧Q
（2）P→Q
答：
（1）¬P = ¬(P∧P) =P↑P
（2）P∧Q =¬(¬( P∧Q)) = (P↑Q)↑(P↑Q)
（3）P→Q= ¬P∨Q = ¬(P∧¬Q)= P↑(Q↑Q) - （4分）对任意正整数n≥2，给出
C
(
n
,
1
)
+
C
(
n
,
2
)
+
…
+
(
C
n
,
n
)
C(n,1) + C(n, 2)+…+(Cn, n)
C(n,1)+C(n,2)+…+(Cn,n)的最简表达式（即计算其值），其中C(n,i)表示从n个元素中取i个元素的组合数。
答：
(
1
+
x
)
n
=
C
(
n
,
0
)
x
0
+
C
(
n
,
1
)
x
1
+
C
(
n
,
2
)
x
2
+
…
+
(
C
n
,
n
)
x
n
(1+x)^n = C(n, 0)x^0+C(n, 1)x^1+C(n, 2)x^2+…+(Cn, n)x^n
(1+x)n=C(n,0)x0+C(n,1)x1+C(n,2)x2+…+(Cn,n)xn
令x=1得，
(
1
+
1
)
n
=
C
(
n
,
0
)
+
C
(
n
,
1
)
+
C
(
n
,
2
)
+
…
+
(
C
n
,
n
)
=
2
n
(1+1)^n = C(n, 0)+C(n, 1)+C(n, 2)+…+(Cn, n) = 2^n
(1+1)n=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+…+(Cn,n)=2n
则
C
(
n
,
1
)
+
C
(
n
,
2
)
+
…
+
(
C
n
,
n
)
=
2
n
−
C
(
n
,
0
)
=
2
n
−
1
C(n, 1)+C(n, 2)+…+(Cn, n) = 2^n-C(n, 0) = 2^n-1
C(n,1)+C(n,2)+…+(Cn,n)=2n−C(n,0)=2n−1
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