我有 2 个 19x19 方阵（a 和 b），我尝试使用斜杠（mrdivide）运算符来执行除法，这样

c = a / b

我正在尝试在 OpenCV 中实现这一点。我发现一些人建议使用cv::solve但到目前为止，我还没有找到任何可以给我提供接近 matlab 的结果的东西。

有谁知道我如何用 opencv 实现 mrdivide 吗？

我尝试过以下代码：

cv::Mat mldivide(const cv::Mat& A, const cv::Mat& B ) 
{
    //return  b * A.inv();
    cv::Mat a;
    cv::Mat b;
    A.convertTo( a, CV_64FC1 );
    B.convertTo( b, CV_64FC1 );

    cv::Mat ret;
    cv::solve( a, b, ret, cv::DECOMP_NORMAL );

    cv::Mat ret2;
    ret.convertTo( ret2, A.type() );
    return ret2;
}

然后我实现 mrdivide 如下：

cv::Mat mrdivide(const cv::Mat& A, const cv::Mat& B ) 
{
   return mldivide( A.t(), B.t() ).t();
}

(Edit：根据答案，当我正确使用它时，这实际上给了我正确的答案！）

这给了我一个错误的答案，即与 matlab 完全不同。根据评论我也尝试过

cv::Mat mrdivide(const cv::Mat& A, const cv::Mat& B ) 
{
    return A * B.inv();
}

这给出了与上面相同的答案，但也是错误的。

你不应该使用inv解决Ax=b or xA=b方程。虽然这两种方法在数学上是等效的（x=solve(A,b) and x=inv(A)*B），当使用浮点数时，这是完全不同的事情！http://www.johndcook.com/blog/2010/01/19/dont-invert-that-matrix/

作为基本规则，永远不要乘以矩阵逆。相反，对于一次性系统使用前向/后向斜杠运算符（或等效的“求解”方法），或者当您想要重用相同的矩阵时显式执行矩阵分解（例如 LU、QR、Cholesky 等）A与多个b's

我举一个具体的例子来说明反转的问题。我将使用 MATLAB 以及梅克斯开放病毒，一个允许我们直接从 MATLAB 调用 OpenCV 的库。

（这个例子借用自这个优秀的 FEX 提交作者：Tim Davis，他是 SuiteSparse 的开发者。我正在展示左除的情况Ax=b但这同样适用于右除xA=b).

我们首先构建一些矩阵Ax=b system:

% Ax = b
N = 16;                 % square matrix dimensions
x0 = ones(N,1);         % true solution
A = gallery('frank',N); % matrix with ill-conditioned eigenvalues
b = A*x0;               % Ax=b system

这是 16x16 矩阵A和 16x1 向量b看起来像（注意真正的解决方案x0只是一个由 1 组成的向量）：

A =                                                          b =
   16 15 14 13 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1              136
   15 15 14 13 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1              135
    0 14 14 13 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1              119
    0  0 13 13 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1              104
    0  0  0 12 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1               90
    0  0  0  0 11 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1               77
    0  0  0  0  0 10 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1               65
    0  0  0  0  0  0  9  9  8  7  6  5  4  3  2  1               54
    0  0  0  0  0  0  0  8  8  7  6  5  4  3  2  1               44
    0  0  0  0  0  0  0  0  7  7  6  5  4  3  2  1               35
    0  0  0  0  0  0  0  0  0  6  6  5  4  3  2  1               27
    0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  5  5  4  3  2  1               20
    0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  4  4  3  2  1               14
    0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  3  3  2  1                9
    0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  2  2  1                5
    0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1                2

现在我们来比较一下cv::invert反对cv::solve通过使用 NORM 函数找到解并计算残差（或cv::norm如果你想）：

% inverting (OpenCV)
x1 = cv.invert(A)*b;
r1 = norm(A*x1-b)

% inverting (MATLAB)
x2 = inv(A)*b;
r2 = norm(A*x2-b)

% solve using matrix factorization (OpenCV)
x3 = cv.solve(A,b);
r3 = norm(A*x3-b)

% solve using matrix factorization (MATLAB)
x4 = A\b;
r4 = norm(A*x4-b)

以下是找到的解决方案（我减去1这样你就可以看到它们离真正的解决方案有多远x0):

>> format short g
>> [x1 x2 x3 x4] - 1
ans =
   9.0258e-06   3.1086e-15  -1.1102e-16   2.2204e-16
   -0.0011101  -1.0181e-13  -2.2204e-15  -2.3315e-15
   -0.0016212  -2.5123e-12   3.3751e-14   3.3307e-14
    0.0037279   4.1745e-11  -4.3476e-13  -4.3487e-13
   -0.0022119   4.6216e-10   5.2165e-12    5.216e-12
   -0.0010476   1.3224e-09  -5.7384e-11  -5.7384e-11
    0.0035461   2.2614e-08   5.7384e-10   5.7384e-10
   -0.0040074  -4.1533e-07  -5.1646e-09  -5.1645e-09
    0.0036477   -4.772e-06   4.1316e-08   4.1316e-08
   -0.0033358   4.7499e-06  -2.8922e-07  -2.8921e-07
    0.0059112  -0.00010352   1.7353e-06   1.7353e-06
   -0.0043586   0.00044539  -8.6765e-06  -8.6764e-06
    0.0069238   -0.0024718   3.4706e-05   3.4706e-05
   -0.0019642   -0.0079952  -0.00010412  -0.00010412
    0.0039284      0.01599   0.00020824   0.00020823
   -0.0039284     -0.01599  -0.00020824  -0.00020823

最重要的是，以下是每种方法的错误：

r1 =
       0.1064
r2 =
     0.060614
r3 =
   1.4321e-14
r4 =
   1.7764e-15

最后两个准确度要高出几个数量级，甚至还差得远！这只是一个包含 16 个变量的系统。求逆在数值上不太可靠，尤其是当矩阵很大且稀疏时......

现在回答你的问题，你有正确的想法使用cv::solve，但是在右除的情况下，您刚刚弄错了操作数的顺序。

在 MATLAB 中，运算符/ and \ (or mrdivide and mldivide) 通过等式相互关联B/A = (A'\B')'（这是一个简单的结果转置属性).

因此，使用 OpenCV 函数，您可以编写（注意顺序）A and b):

% Ax = b
x = cv.solve(A, b);     % A\b or mldivide(A,b)

% xA = b
x = cv.solve(A', b')';  % b/A or mrdivide(b,A)

OpenCV 公开的 API 在这里有点尴尬，所以我们必须做所有这些转置。事实上，如果你参考相等的LAPACK 例程（思考DGESV or DGESVX）它们实际上允许您指定矩阵是否转置TRANS=T or not TRANS=N（在这个层面上，转置实际上只是不同的内存布局、C 或 Fortran 排序）。例如 MATLAB 提供了linsolve函数允许您在选项中指定这些东西......

（顺便说一句，在 C++ OpenCV 中编码时，我更喜欢使用函数形式的操作，例如cv::transpose与矩阵表达式变体相反Mat::t。前者可以就地操作，而后者会创建不必要的临时副本）。

现在，如果您正在寻找 C++ 中性能良好的线性代数实现，请考虑使用Eigen（它甚至与 OpenCV 完美集成）。另外，它是一个纯粹的基于模板的库，因此无需担心链接或二进制文件，只需包含头文件即可。

编辑（回应评论）

@Goz:

查找返回值优化。 “不必要的临时副本”不存在

我知道RVO and 移动语义，但这在这里并不重要；这cv::Mat类是易于复制不管怎样，有点像引用计数的智能指针。这意味着它仅在按值传递时进行浅复制并共享数据。为新副本创建的唯一部分是 mat 标头中的部分，这些部分在大小方面无关紧要（存储维度/通道数、步长和数据类型等内容）。

我说的是一个显式的深层副本，而不是您从函数调用返回时所考虑的副本......

感谢您的评论，它让我有动力真正深入研究 OpenCV 源代码，这不是最容易阅读的东西......代码几乎没有注释，有时可能很难理解。复杂性是可以理解的，因为 OpenCV 确实关心性能，而且许多功能以各种方式实现（常规 CPU 实现、循环展开版本、SIMD 矢量化版本（SSE、AVX、NEON 等）、并行和线程），这实际上令人印象深刻使用各种后端的版本、Intel IPP 的优化实现、使用 OpenCL 或 CUDA 的 GPU 加速版本、Tegra、OpenVX 等的移动加速版本）

让我们通过以下案例来追踪我们的步骤：

Mat A = ..., b = ..., x;
cv::solve(A.t(), b, x);

其中函数定义如下：

bool cv::solve(InputArray _src, InputArray _src2arg, OutputArray _dst, int method)
{
    Mat src = _src.getMat(), _src2 = _src2arg.getMat();
    _dst.create( src.cols, _src2.cols, src.type() );
    Mat dst = _dst.getMat();
    ...
}

现在我们必须弄清楚中间的步骤。我们首先拥有的是t会员方法：

MatExpr Mat::t() const
{
    MatExpr e;
    MatOp_T::makeExpr(e, *this);
    return e;
}

这会返回一个MatExpr这是一个允许延迟评估的类矩阵表达式。换句话说，它不会立即执行转置，而是存储对原始矩阵的引用以及最终对其执行的操作（转置），但它会推迟对其求值，直到绝对必要为止（例如当分配或转换为cv::Mat).

接下来我们看看相关部分的定义。请注意，在实际代码中，这些内容被分割到许多文件中。为了便于阅读，我只是将有趣的部分拼凑在一起，但这还远非完整的内容：

class MatExpr
{
public:
    MatExpr()
    : op(0), flags(0), a(Mat()), b(Mat()), c(Mat()), alpha(0), beta(0), s()
    {}
    explicit MatExpr(const Mat& m)
    : op(&g_MatOp_Identity), flags(0), a(m), b(Mat()), c(Mat()),
      alpha(1), beta(0), s(Scalar())
    {}
    MatExpr(const MatOp* _op, int _flags, const Mat& _a = Mat(),
            const Mat& _b = Mat(), const Mat& _c = Mat(),
            double _alpha = 1, double _beta = 1, const Scalar& _s = Scalar())
    : op(_op), flags(_flags), a(_a), b(_b), c(_c), alpha(_alpha), beta(_beta), s(_s)
    {}
    MatExpr t() const
    {
        MatExpr e;
        op->transpose(*this, e);
        return e;
    }
    MatExpr inv(int method) const
    {
        MatExpr e;
        op->invert(*this, method, e);
        return e;
    }
    operator Mat() const
    {
        Mat m;
        op->assign(*this, m);
        return m;
    }
public:
    const MatOp* op;
    int flags;
    Mat a, b, c;
    double alpha, beta;
    Scalar s;
}

Mat& Mat::operator = (const MatExpr& e)
{
    e.op->assign(e, *this);
    return *this;
}
MatExpr operator * (const MatExpr& e1, const MatExpr& e2)
{
    MatExpr en;
    e1.op->matmul(e1, e2, en);
    return en;
}

到目前为止，这很简单。该类应该将输入矩阵存储在a (again cv::Mat实例将共享数据，因此无需复制）以及要执行的操作op，以及其他一些对我们来说不重要的事情。

这是矩阵运算类MatOp，以及其中一些子类（我只显示转置和逆运算，但还有更多）：

class MatOp
{
public:
    MatOp();
    virtual ~MatOp();
    virtual void assign(const MatExpr& expr, Mat& m, int type=-1) const = 0;
    virtual void transpose(const MatExpr& expr, MatExpr& res) const
    {
        Mat m;
        expr.op->assign(expr, m);
        MatOp_T::makeExpr(res, m, 1);
    }
    virtual void invert(const MatExpr& expr, int method, MatExpr& res) const
    {
        Mat m;
        expr.op->assign(expr, m);
        MatOp_Invert::makeExpr(res, method, m);
    }
}

class MatOp_T : public MatOp
{
public:
    MatOp_T() {}
    virtual ~MatOp_T() {}
    void assign(const MatExpr& expr, Mat& m, int type=-1) const
    {
        Mat temp, &dst = _type == -1 || _type == e.a.type() ? m : temp;
        cv::transpose(e.a, dst);
        if( dst.data != m.data || e.alpha != 1 ) dst.convertTo(m, _type, e.alpha);
    }
    void transpose(const MatExpr& e, MatExpr& res) const
    {
        if( e.alpha == 1 )
            MatOp_Identity::makeExpr(res, e.a);
        else
            MatOp_AddEx::makeExpr(res, e.a, Mat(), e.alpha, 0);
    }
    static void makeExpr(MatExpr& res, const Mat& a, double alpha=1)
    {
        res = MatExpr(&g_MatOp_T, 0, a, Mat(), Mat(), alpha, 0);
    }
};

class MatOp_Invert : public MatOp
{
public:
    MatOp_Invert() {}
    virtual ~MatOp_Invert() {}
    void assign(const MatExpr& e, Mat& m, int _type=-1) const
    {
        Mat temp, &dst = _type == -1 || _type == e.a.type() ? m : temp;
        cv::invert(e.a, dst, e.flags);
        if( dst.data != m.data ) dst.convertTo(m, _type);
    }
    void matmul(const MatExpr& e1, const MatExpr& e2, MatExpr& res) const
    {
        if( isInv(e1) && isIdentity(e2) )
            MatOp_Solve::makeExpr(res, e1.flags, e1.a, e2.a);
        else if( this == e2.op )
            MatOp::matmul(e1, e2, res);
        else
            e2.op->matmul(e1, e2, res);
    }
    static void makeExpr(MatExpr& res, int method, const Mat& m)
    {
        res = MatExpr(&g_MatOp_Invert, method, m, Mat(), Mat(), 1, 0);
    }
};

static MatOp_Identity g_MatOp_Identity;
static MatOp_T g_MatOp_T;
static MatOp_Invert g_MatOp_Invert;

OpenCV 大量使用运算符重载，因此各种操作，例如A+B, A-B, A*B, ...实际上映射到相应的矩阵表达式运算。

难题的最后一部分是代理类InputArray。它基本上存储了一个void*指针以及有关所传递事物的信息（它是什么类型：Mat, MatExpr, Matx, vector<T>, UMat等..），这样它就知道如何在请求时将指针强制转换回来，例如InputArray::getMat:

typedef const _InputArray& InputArray;

class _InputArray
{
public:
    _InputArray(const MatExpr& expr)
    { init(FIXED_TYPE + FIXED_SIZE + EXPR + ACCESS_READ, &expr); }

    void init(int _flags, const void* _obj)
    { flags = _flags; obj = (void*)_obj; }

    Mat getMat_(int i) const
    {
        int k = kind();
        int accessFlags = flags & ACCESS_MASK;
        ...
        if( k == EXPR ) {
            CV_Assert( i < 0 );
            return (Mat)*((const MatExpr*)obj);
        }
        ...
        return Mat();
    }
protected:
    int flags;
    void* obj;
    Size sz;
}

现在我们看看如何Mat::t创建并返回一个MatExpr实例。然后由cv::solve as InputArray。现在当它调用时InputArray::getMat为了检索矩阵，它有效地转换存储的MatExpr to a Mat调用强制转换运算符：

    MatExpr::operator Mat() const
    {
        Mat m;
        op->assign(*this, m);
        return m;
    }

所以它声明了一个新的矩阵m, calls MatOp_T::assign以新矩阵作为目标。反过来，这迫使它通过最终调用来进行评估cv::transpose。它将转置结果计算到这个新矩阵中作为目标。

所以我们最终有两份副本，原件A和转置的A.t()回。

现在，综上所述，将其与以下内容进行比较：

Mat A = ..., b = ..., x;
cv::transpose(A, A);
cv::solve(A, b, x);

在这种情况下，A被转置in-place，并且抽象级别较低。

现在我展示所有这些的原因不是为了争论这个额外的副本，毕竟这没什么大不了的:) 我发现的真正巧妙的事情是，以下两个表达式没有做相同的事情并给出不同的结果（而且我不是在谈论逆是否就地）：

Mat A = ..., b = ..., x;
cv::invert(A,A);
x = A*b;

Mat A = ..., b = ..., x;
x = inv(A)*b;

事实证明，第二个实际上足够聪明，可以调用cv::solve(A,b)！如果你回到MatOp_Invert::matmul（当惰性求逆稍后与另一个惰性矩阵乘法链接时调用）。

void MatOp_Invert::matmul(const MatExpr& e1, const MatExpr& e2, MatExpr& res) const
{
    if( isInv(e1) && isIdentity(e2) )
        MatOp_Solve::makeExpr(res, e1.flags, e1.a, e2.a);
    ...
}

它检查表达式中的第一个操作数是否inv(A)*B是一个求逆运算，第二个操作数是一个恒等运算（即一个普通矩阵，而不是另一个复杂表达式的结果）。在这种情况下，它将存储的操作更改为惰性求解操作MatOp_Solve（这同样是一个包装器cv::solve功能）。 IMO 这非常聪明！尽管你写了inv(A)*b，它实际上不会计算逆矩阵，相反，它知道最好通过使用矩阵分解求解系统来重写它。

不幸的是，这只会有利于形式的表达inv(A)*b不是相反b*inv(A)（这最终会计算出逆数，这不是我们想要的）。所以在你解决的情况下xA=b，你应该坚持显式调用cv::solve...

当然，这仅适用于用 C++ 进行编码时（感谢运算符重载和惰性表达式的魔力）。如果您使用其他语言的 OpenCV 使用一些包装器（如 Python、Java、MATLAB），您可能不会得到任何这些，并且应该明确使用cv::solve就像我在之前的 MATLAB 代码中所做的那样，对于这两种情况Ax=b and xA=b.

希望这会有所帮助，对于这么长的帖子表示歉意；）