在函数式编程中，什么是函子？

我在阅读有关函数式编程的各种文章时多次遇到“函子”一词，但作者通常假设读者已经理解该术语。在网络上环顾四周，要么提供了过多的技术描述（请参阅维基百科文章）或令人难以置信的模糊描述（请参阅此处有关函子的部分ocaml-教程网站).

有人可以定义这个术语，解释它的用途，或者提供一个如何创建和使用函子的示例吗？

Edit：虽然我对这个术语背后的理论感兴趣，但我对这个概念的实施和实际使用的兴趣不如对理论的兴趣。

Edit 2：看起来好像存在一些跨术语：我特指的是函数式编程的函子，而不是 C++ 的函数对象。

“函子”这个词来自范畴论，范畴论是一个非常普遍、非常抽象的数学分支。函数式语言的设计者至少以两种不同的方式借用了它。

• 在 ML 语言系列中，函子是一种采用一个或多个其他模块作为参数的模块。它被认为是一项高级功能，大多数初学者都很难使用它。

  作为实现和实际使用的示例，您可以将您最喜欢的平衡二叉搜索树形式一劳永逸地定义为函子，并且它将采用提供以下功能的模块作为参数：

  • 二叉树中使用的键的类型

  • 按键全排序功能

  一旦完成此操作，您就可以永远使用相同的平衡二叉树实现。 （存储在树中的值的类型通常是多态的——树除了复制它们之外不需要查看值，而树肯定需要能够比较键，并且它从函子的参数。）

  ML 函子的另一个应用是分层网络协议。该链接是 CMU Fox 小组发表的一篇非常棒的论文；它展示了如何使用仿函数在较简单的层类型（如 IP 甚至直接通过以太网）上构建更复杂的协议层（如 TCP）。每一层都被实现为一个函子，将其下面的层作为参数。软件的结构实际上反映了人们思考问题的方式，而不是只存在于程序员头脑中的层次。 1994年这部作品出版时，轰动一时。

  有关 ML 函子的实际应用示例，您可以参阅论文机器学习模块狂热，其中包含一个可发布的（即可怕的）函子工作示例。要对 ML 模块系统进行精彩、清晰、清晰的解释（以及与其他类型的模块的比较），请阅读 Xavier Leroy 1994 年发表的精彩 POPL 论文的前几页清单类型、模块和单独编译.

• 在 Haskell 和一些相关的纯函数式语言中，Functor is a 类型类别。当类型提供具有某些预期行为的某些操作时，该类型属于某个类型类（或者更技术地说，该类型“是该类型类的实例”）。一种T可以属于班级Functor如果它具有某些类似集合的行为：

  • 方式T通过另一种类型进行参数化，您应该将其视为集合的元素类型。完整集合的类型类似于T Int, T String, T Bool，如果您分别包含整数、字符串或布尔值。如果元素类型未知，则将其写为类型参数 a, as in T a.

    示例包括列表（零个或多个类型的元素a), the Maybetype（类型的零个或一个元素a)，类型元素的集合a, 类型元素数组a，包含类型值的各种搜索树a，以及您能想到的许多其他内容。

  • 另一个财产是T必须满足的是，如果你有一个类型的函数a -> b（元素上的函数），那么您必须能够采用该函数并在集合上产生相关的函数。您与操作员一起执行此操作fmap，这是由每个类型共享的Functor类型类。该运算符实际上是重载的，所以如果你有一个函数even与类型Int -> Bool, then

    fmap even
    

    是一个重载函数，可以做很多奇妙的事情：

    • 将整数列表转换为布尔值列表

    • 将整数树转换为布尔树

    • Convert Nothing to Nothing and Just 7 to Just False

    在 Haskell 中，该属性通过给出以下类型来表示：fmap:

    fmap :: (Functor t) => (a -> b) -> t a -> t b
    

    我们现在有一个小的t，这意味着“任何类型Functor class."

  长话短说，在 Haskell 中函子是一种集合，如果给它一个元素上的函数，fmap会给你一个关于集合的函数。正如你可以想象的，这是一个可以广泛重用的想法，这就是为什么它被祝福成为 Haskell 标准库的一部分。

像往常一样，人们不断发明新的、有用的抽象，你可能想研究一下应用性的函子，最好的参考可能是一篇名为带有效果的应用程序编程作者：康纳·麦克布莱德和罗斯·帕特森。