浅谈Stein算法求最大公约数(GCD)的原理及简单应用

一、Stein算法过程及其简单证明

1.一般步骤：

s1:当两数均为偶数时将其同时除以2至至少一数为奇数为止，记录除掉的所有公因数2的乘积k；
s2:如果仍有一数为偶数，连续除以2直至该数为奇数为止；
s3:用更相减损法(辗转相减法)，即GCD(a,b)=GCD(a-b,b)，或辗转相除法求出两奇数的最大公约数d；
s4:原来两数的最大公约数即为d*k；

2.简单证明：

s1:即为求出两数为2的幂次方的最大公因数k；
s2:当化简后两数一奇一偶时，显然奇数是不含偶数因子的，那么另一化简后偶数的所有偶数因子都不可能为原来两数的最大公因数的因子；
s3:求出原来两数不为2的幂次方的最大公因数d；
s4:最大公因数即为2的幂次方的最大公因数k乘以不为2的幂次方的最大公因数d；

3.Stein算法的优点：

欧几里得算法在处理较小数字时优势是明显的，但对于大整数时，高精度的整除和取余运算就显得非常复杂，所以Stein算法的优点就在于只需要进行移位(位运算)和减法操作，处理高精度GCD问题时相对简便；

4.相关位运算符的简单介绍：

(1)按位与(&):

a&x为对数a的二进制形式的取位操作，即去a二进制形式的第x位。这里有一个重要应用就是a&1可以用于判断数a的奇偶性，即a末位为0即为偶数，末位为1即为奇数。

(2)异或运算(^):

具体介绍参考之前的随笔：http://www.cnblogs.com/COLIN-LIGHTNING/p/8298554.html；
应用为交换两数：a^=b,b^=a,a^=b即完成了两数交换。

(3)按位左移(<<):

a<<=x即为使a乘以2的x次幂，原理是让a的二进制形式左移x位；应用为对与2的幂次方相乘使运算更快更方便；

(4)按位右移(>>):

a>>=x即为使a除以2的x次幂，原理是让a的二进制形式右移x位；应用为对与2的幂次方相除使运算更快更方便；

5.一般代码：

(1)递归形式：

int stein(int a,int b){
    if(a<b) a^=b,b^=a,a^=b;        //交换，使a为较大数； 
    if(b==0)return a;                    //当相减为零，即两数相等时，gcd=a； 
    if((!(a&1))&&(!(b&1))) return stein(a>>1,b>>1)<<1;   //s1,注意最后的左移，在递归返回过程中将2因子乘上;
    else if((a&1)&&(!(b&1)))return stein(a,b>>1);            //s2;
    else if((!(a&1))&&(b&1))return stein(a>>1,b);
    else return stein(a-b,b);                                             //s3;  
} 

(2)迭代形式：

int stein(int a,int b){
    int k=1;        
    while((!(a&1))&&(!(b&1))){    //s1;
        k<<=1;                          //用k记录全部公因子2的乘积 ；
        a>>=1;                         
        b>>=1;
    } 
    while(!(a&1))a>>=1;              //s2;
    while(!(b&1))b>>=1;
    if(a<b) a^=b,b^=a,a^=b;        //交换，使a为较大数； 
    while(a!=b){                           //s3;
        a-=b;
        if(a<b) a^=b,b^=a,a^=b;   
    } 
    return k*a;
}