关于这个主题有很多问题，我已经循环浏览了其中很多问题，获得了有关处理频率的概念性指导（here and here），有关 numpy 函数的文档（here），有关提取幅度和相位的操作信息（here），并走出站点，例如this or this.
然而，只有通过简单的例子向自己痛苦地“证明这一点”，并检查不同函数的输出与手动实现的对比，才给了我一些想法。
答案试图记录和分享与 Python 中的 DFT 相关的细节，如果不以简单的术语解释，这些细节可能会构成进入障碍。
DFT（FFT 是其算法计算）是有限离散样本之间的点积N模拟信号的s(t)（时间或空间的函数）和一组复指数的基向量（sin 和 cos 函数）。尽管样本本质上是有限的并且可能不显示周期性，但它隐含地被认为是周期性重复的离散函数。即使在处理实值信号（通常情况）时，使用复数（欧拉方程）也很方便。在信号上实现该函数可能会令人生畏np.fft.fft(s)只是为了获得复数的输出系数并陷入其解释中。一些步骤是必不可少的：
0 to N - 1可以被认为有单位循环/组（该集合是N信号样本s）。我将省略讨论奈奎斯特极限，但对于真实信号，频率在之后形成镜像N / 2，并在该点之后给出负递减值（在隐式周期性框架内不是问题）。 FFT 中使用的频率不仅仅是k, but k / N，被认为具有单位周期/样品. See 这个参考。例子 （参考): 如果对信号进行采样N = 5乘以频率为：np.fft.fftfreq(5)，产生[ 0 , 0.2, 0.4, -0.4, -0.2], i.e. [0/5, 1/5, 2/5, -2/5, -1/5].np.fft.fftfreq(5, d=T)：如果是模拟信号s被采样5等距次数T = 1/2秒的总样本NT = 5 x 1/2 sec，归一化频率将是np.fft.fftfreq(5, d = 1/2)，产生[0 0.4 0.8 -0.8 -0.4] or [0/NT, 1/NT, 2/NT, -2/NT, -1/NT].NT是总持续时间
对信号进行采样。指数k确实会产生基频的倍数（ω-naught）对应于k = 1- 完成的（同）正弦波的频率
正好一次振荡NT (here).
S = fft.fft(s), the 震级输出系数（here）只是输出系数中复数的欧几里得范数，根据实际信号的对称性进行调整（x 2）和样本数量1/N: magnitudes = 1/N * np.abs(S)
np.fft.fftfreq(N)，或更方便地合并实际的模拟频率单位，frequencies = np.fft.fftfreq(N, d=T).phase = np.arctan(np.imag(S)/np.real(S))
k对应于最高幅度的频率可以完成为index = np.argmax(np.abs(S))。为了找到4具有最高幅度的指数，例如，调用是indices = np.argpartition(S,-4)[-4:].S[index]随频率freq_max = np.fft.fftfreq(N, d=T)[index].繁殖s通过正弦和余弦（p.150 inhere):
Re = np.real(S[index])
Im = np.imag(S[index])
s_recon = Re * 2/N * np.cos(-2 * np.pi * freq_max * t) + abs(Im) * 2/N * np.sin(-2 * np.pi * freq_max * t)
这是一个完整的例子：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
N = 10000 # Sample points
T = 1/5000 # Spacing
# Total duration N * T= 2
t = np.linspace(0.0, N*T, N, endpoint=False) # Time: Vector of 10,000 elements from 0 to N*T=2.
frequency = np.fft.fftfreq(t.size, d=T) # Normalized Fourier frequencies in spectrum.
f0 = 25 # Frequency of the sampled wave
phi = np.pi/8 # Phase
A = 50 # Amplitude
s = A * np.cos(2 * np.pi * f0 * t + phi) # Signal
S = np.fft.fft(s) # Unnormalized FFT
index = np.argmax(np.abs(S))
print(S[index])
magnitude = np.abs(S[index]) * 2/N
freq_max = frequency[index]
phase = np.arctan(np.imag(S[index])/np.real(S[index]))
print(f"magnitude: {magnitude}, freq_max: {freq_max}, phase: {phase}")
print(phi)
fig, [ax1,ax2] = plt.subplots(nrows=2, ncols=1, figsize=(10, 5))
ax1.plot(t,s, linewidth=0.5, linestyle='-', color='r', marker='o', markersize=1,markerfacecolor=(1, 0, 0, 0.1))
ax1.set_xlim([0, .31])
ax1.set_ylim([-51,51])
ax2.plot(frequency[0:N//2], 2/N * np.abs(S[0:N//2]), '.', color='xkcd:lightish blue', label='amplitude spectrum')
plt.xlim([0, 100])
plt.show()
Re = np.real(S[index])
Im = np.imag(S[index])
s_recon = Re*2/N * np.cos(-2 * np.pi * freq_max * t) + abs(Im)*2/N * np.sin(-2 * np.pi * freq_max * t)
fig = plt.figure(figsize=(10, 2.5))
plt.xlim(0,0.3)
plt.ylim(-51,51)
plt.plot(t,s_recon, linewidth=0.5, linestyle='-', color='r', marker='o', markersize=1,markerfacecolor=(1, 0, 0, 0.1))
plt.show()
s.all() == s_recon.all()