3D 最小二乘平面

给定一组 3D 数据点，计算 (x, y, z) 空间中的最小二乘平面的算法是什么？换句话说，如果我有一堆点，例如 (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9) 等，那么如何计算最佳拟合平面 f (x, y) = ax + by + c？从一组 3D 点中获取 a、b 和 c 的算法是什么？

如果有 n 个数据点 (x[i], y[i], z[i])，请计算 3x3 对称矩阵 A，其条目为：

sum_i x[i]*x[i],    sum_i x[i]*y[i],    sum_i x[i]
sum_i x[i]*y[i],    sum_i y[i]*y[i],    sum_i y[i]
sum_i x[i],         sum_i y[i],         n

还计算 3 元素向量 b：

{sum_i x[i]*z[i],   sum_i y[i]*z[i],    sum_i z[i]}

然后针对给定的 A 和 b 求解 Ax = b。解向量的三个分量是最小二乘拟合平面 {a,b,c} 的系数。

请注意，这是“普通最小二乘”拟合，仅当 z 预计为 x 和 y 的线性函数时才适用。如果您正在寻找 3 空间中的“最佳拟合平面”，您可能需要了解“几何”最小二乘法。

另请注意，如果您的点在一条线上（如示例点所示），则此操作将会失败。