码农多打拼五年对生子决策的影响。
首先我们确定在这个问题中要处理的对象：单个个体
他会有哪些属性呢？1.退休年限 2.生活状态
我们要分析的是一个事件对生子数目的影响，其实在现当代，因为过大的工作压力与老人变多的影响，很多家庭会选择丁克，因此我们不妨把问题转化行为为对生子决策的影响。
我们首先要确定的是与生子抉择直接相关的因素：对孩子生育及抚养所需要承担的成本，当然在中国讲求孝道，孩子的存在对个人老年生活质量的保证十分关键。因而个体老年生活的需求也应成为决定是否需要孩子的考虑因素。
需要注意的是，不同生活水平的个体对应的成本和需求都不尽相同，下面我们就要对其中的各种关系进行分析。
首先我们考虑生活水平与什么有关？
最先能想到的必然是个人的收入，但是具体情况也会因人而异，有的人是月光族，有的人会量入为出，而有的人十分节俭。我们在这点做出相应假设忽略个体间的差异，假设个人的生活水平与个体的工资(收入)线性相关。
下面个体工资将用符号
S
S
S表示。
需要注意，个体的工资是时间的函数 S ( t ) S(t) S(t)，对于一些个体这是一个增函数（高基础工作，工资随工作年龄而增高），对于一些个体这是一个常函数（中基础工作，类似于企业单位的铁饭碗），而对于一些个体这是一个减函数（低基础工作，工资随年龄增大而降低），这往往取决于职业的类型。重要的是，我们可以靠知识积累时间 T 1 T_1 T1来对这三种状态进行阈值划分。
还需要考虑的是如今的大龄男性与大龄女性婚姻问题，3700万单身汉也是一个亟需解决的问题，这取决与个人状态与婚姻的需求成本。(这暂时只作为一个参考想法，模型成熟后选择性加入)
下面我们对工资函数做出一定假设：
（1）增函数类型
从这里我们可以得到一个个体在一个重要时间
T
2
T_2
T2的工资水平
S
(
T
2
)
=
p
1
⋅
(
exp
{
k
⋅
T
1
⋅
(
T
2
−
T
1
)
}
+
T
1
−
1
)
⋅
χ
[
T
1
,
T
2
]
S(T_2)= p_1\cdot(\exp\{k\cdot T_1\cdot(T_2-T_1)\}+T_1 -1)\cdot \chi_{[T_1,T_2]}
S(T2)=p1⋅(exp{k⋅T1⋅(T2−T1)}+T1−1)⋅χ[T1,T2].
我们假设一个个体完成知识积累的时间为
T
1
=
25
T_1=25
T1=25，而退休年龄为
T
2
=
65
T_2=65
T2=65，取参数
k
=
0.005
,
p
1
=
200
k=0.005,p_1=200
k=0.005,p1=200，则我们展示该个体在上述模型下的工资曲线。
（2）常函数类型
我们同样假设常函数的初值取值与学习积累时间成正相关。则在该状态下的工资函数较容易得到：
S
(
t
)
=
p
2
⋅
(
0
⋅
χ
[
0
,
T
1
]
∪
[
T
2
,
+
∞
]
+
T
1
⋅
χ
[
T
1
,
T
2
]
)
S(t)=p_2\cdot (0\cdot \chi_{[0,T_1]\cup [T_2,+\infty]}+T_1\cdot \chi_{[T_1,T_2]})
S(t)=p2⋅(0⋅χ[0,T1]∪[T2,+∞]+T1⋅χ[T1,T2])
其中
p
2
p_2
p2是基础工资参数，来为了拟合实际现实工资水平而存在。这里取
p
2
=
160
,
T
1
=
18
,
T
2
=
65.
p_2=160,T_1=18,T_2=65.
p2=160,T1=18,T2=65.
（3）减函数类型
减函数情况下，我希望函数 S ( t , T 1 , T 2 ) S(t,T_1,T_2) S(t,T1,T2)满足以下要求:
在上述几个条件要求下，我认为最简单的函数便是:
S
(
t
,
T
1
,
T
2
)
=
p
3
⋅
(
1
t
−
T
1
+
T
′
+
1
p
3
⋅
S
0
)
S(t,T_1,T_2)=p_3\cdot(\frac{1}{t-T_1+T'}+\frac{1}{p_3}\cdot S_0)
S(t,T1,T2)=p3⋅(t−T1+T′1+p31⋅S0)
但是这个函数是把
[
T
1
,
+
∞
]
[T1,+\infty]
[T1,+∞]映射到了
[
p
3
T
′
+
S
0
,
S
0
]
[\frac{p_3}{T'}+S_0,S_0]
[T′p3+S0,S0]，而并非将
[
T
1
,
T
2
]
[T1,T_2]
[T1,T2]映射到了
[
p
3
T
′
+
S
0
,
S
0
]
[\frac{p_3}{T'}+S_0,S_0]
[T′p3+S0,S0]。
此时，聪明的数学系学生就会想到用三角变换
t
a
n
(
⋅
)
tan(\cdot)
tan(⋅)函数将无穷区间变换到有限区间上面来，那么对应的变化是
g
(
x
)
=
t
a
n
(
a
r
c
t
a
n
(
T
1
)
+
(
x
−
T
1
)
⋅
π
2
−
a
r
c
t
a
n
(
T
1
)
(
T
2
−
T
1
)
)
g(x)=tan(arctan(T_1)+(x-T_1)\cdot \frac{\frac{\pi}{2}-arctan(T_1)}{(T_2-T_1)})
g(x)=tan(arctan(T1)+(x−T1)⋅(T2−T1)2π−arctan(T1))
那么
g
(
⋅
)
:
[
T
1
,
T
2
]
→
[
T
1
,
+
∞
]
.
g(\cdot):[T_1,T_2]\to[T_1,+\infty].
g(⋅):[T1,T2]→[T1,+∞].实现了我们的目标。经过复合，我们得到的减函数情形的工资函数为:
S
(
t
,
T
1
,
T
2
)
=
p
3
⋅
(
1
g
(
t
)
−
T
1
+
T
′
+
1
p
3
⋅
S
0
)
S(t,T_1,T_2)=p_3\cdot(\frac{1}{g(t)-T_1+T'}+\frac{1}{p_3}\cdot S_0)
S(t,T1,T2)=p3⋅(g(t)−T1+T′1+p31⋅S0)
实现了
[
T
1
,
T
2
]
→
[
T
1
,
+
∞
]
→
[
p
3
T
′
+
S
0
,
S
0
]
[T_1,T_2]\to[T_1,+\infty] \to[\frac{p_3}{T'}+S_0,S_0]
[T1,T2]→[T1,+∞]→[T′p3+S0,S0]的单射递减过程。
如果初始工资为 p 3 ⋅ T 1 p_3\cdot T_1 p3⋅T1，那么可解出 T ′ T' T′的值为 T ′ = 1 T 1 − S 0 p 3 . T'=\frac{1}{T_1-\frac{S_0}{p_3}}. T′=T1−p3S01.
我们假设 p 3 = 100 , T 1 = 12 ( > 10 ) , T 2 = 65 , S 0 = 1000 p_3=100,T1=12(>10),T2=65,S0=1000 p3=100,T1=12(>10),T2=65,S0=1000，则模型曲线如下：
最后我们工资函数进行一个总结：
S
(
t
,
T
1
,
T
2
)
=
{
0
⋅
χ
[
0
,
T
1
]
∪
[
T
2
,
+
∞
]
+
p
1
⋅
(
exp
{
k
⋅
T
1
⋅
(
t
−
T
1
)
}
+
T
1
−
1
)
⋅
χ
[
T
1
,
T
2
]
,
T
1
>
23
p
2
⋅
(
0
⋅
χ
[
0
,
T
1
]
∪
[
T
2
,
+
∞
]
+
T
1
⋅
χ
[
T
1
,
T
2
]
)
,
18
<
T
1
≤
23
S
0
,
0
<
T
≤
18
S(t,T_1,T_2)=\left\{\begin{array}{ll} 0\cdot \chi_{[0,T_1]\cup[T_2,+\infty]}+ p_1\cdot(\exp\{k\cdot T_1\cdot(t-T_1)\}+T_1 -1)\cdot \chi_{[T_1,T_2]}&,T_1>23\\ p_2\cdot (0\cdot \chi_{[0,T_1]\cup [T_2,+\infty]}+T_1\cdot \chi_{[T_1,T_2]})&, 18<T_1 \le23\\ S_0,0<T\le 18 \end{array}\right.
S(t,T1,T2)=⎩⎨⎧0⋅χ[0,T1]∪[T2,+∞]+p1⋅(exp{k⋅T1⋅(t−T1)}+T1−1)⋅χ[T1,T2]p2⋅(0⋅χ[0,T1]∪[T2,+∞]+T1⋅χ[T1,T2])S0,0<T≤18,T1>23,18<T1≤23
我们默认取参数值如下：
p
1
=
200
,
p
2
=
160
,
p
3
=
100.
p_1=200,p_2=160,p_3=100.
p1=200,p2=160,p3=100.
S
0
=
1000
,
k
=
0.005
S_0=1000,k=0.005
S0=1000,k=0.005
（数据没有查阅资料，未必有意义，有相关知识的同学欢迎来加入讨论私聊）
这样，我们能够确定
T
2
T_2
T2时刻的
S
S
S的值（假设
T
1
T_1
T1给定了）
S
(
t
,
T
1
,
T
2
)
=
{
200
⋅
(
exp
{
1
200
⋅
T
1
⋅
(
T
2
−
T
1
)
}
+
T
1
−
1
)
,
T
1
>
23
160
⋅
T
1
,
18
<
T
1
≤
23
S
0
,
0
<
T
≤
10
S(t,T_1,T_2)=\left\{\begin{array}{ll} 200\cdot(\exp\{\frac{1}{200}\cdot T_1\cdot(T_2-T_1)\}+T_1 -1)&,T_1>23\\ 160\cdot T_1&, 18<T_1 \le23\\ S_0&,0<T\le 10 \end{array}\right.
S(t,T1,T2)=⎩⎨⎧200⋅(exp{2001⋅T1⋅(T2−T1)}+T1−1)160⋅T1S0,T1>23,18<T1≤23,0<T≤10
在函数空间中展示如下图所示:
我们能看到，当 T 1 T_1 T1落在 [ 10 , 40 ] [10,40] [10,40](视为具有较好的生育能力的年龄阶段)时候，在退休后会进入完全两个不同的经济状况，这两个经济生活状况被 S ∈ [ 10000 , 40000 ] S\in[10000,40000] S∈[10000,40000]水平带分割开来。此时，我们就用这个退休时的工资量作为个体老年生活的需求的年均值。
下一个问题就是退休后老人们能享福多少年呢？这里我们假设每个个体的寿命
L
L
L相同，为80岁。则享福年份与退休年限成负相关，我们设享福年份为
Y
e
a
r
s
t
o
e
n
j
o
y
=
T
e
Years~to~enjoy=T_e
Years to enjoy=Te,则有下列限制关系:
T
e
+
T
2
=
L
T_e+T_2=L
Te+T2=L
之后我们便能够计算不同
T
1
T_1
T1取值的个体的老年生活需求Living needs of the elderly了,我们用
N
e
N_e
Ne来表示。
那么我们通过最终的式子算出我们的第一个指标:
N
e
=
T
e
⋅
S
(
T
2
;
T
1
,
T
2
)
N_e=T_e\cdot S(T_2;T_1,T_2)
Ne=Te⋅S(T2;T1,T2)
我们来看一下在
T
2
=
65
T_2=65
T2=65和
T
2
=
70
T_2=70
T2=70两种情况下，
N
e
N_e
Ne随
T
1
T_1
T1的变化曲线:
T
2
=
65
T_2=65
T2=65
T
2
=
70
T_2=70
T2=70
下面我们来考虑另外一个相关因素：对孩子生育及抚养所需要承担的成本，我们用符号 C C C来记。
这个成本是怎么计算呢？往往一个家庭在考虑要孩子的时候不仅仅会考虑当前的经济状况，而且会考虑18年内的经济状况，因而这个支出其实要靠积分来进行计算：
C
(
T
1
,
T
2
,
T
3
)
=
∫
T
3
T
3
+
18
p
(
t
−
T
3
)
S
(
t
,
T
1
,
T
2
)
d
t
C(T_1,T_2,T_3)=\int_{T_3}^{T_3+18}p(t-T_3)S(t,T_1,T_2)dt
C(T1,T2,T3)=∫T3T3+18p(t−T3)S(t,T1,T2)dt
其中
T
3
T_3
T3是做出决策并执行的时间，而
p
(
⋅
)
p(\cdot)
p(⋅)是随孩子年龄增长，其成本在个体总工资中所占比重的变化。
最终我们对对孩子生育及抚养所需要承担的成本 C C C与个体老年生活的需求 N e N_e Ne进行比较,
以上模型系由小航乱编，如有雷同，还请见谅！
