为什么在 python 中求解 Xc=y 的不同方法会给出不同的解，而它们不应该给出不同的解？

我试图解决线性系统Xc=y那是方形的。我知道解决这个问题的方法有：

1. 使用逆c=<X^-1,y>
2. 使用高斯消去法
3. 使用伪逆

据我所知，这些似乎与我认为的基本事实不符。

1. 首先通过将 30 次多项式拟合到频率为 5 的余弦来生成真值参数。所以我有y_truth = X*c_truth.
2. 然后我检查以上三种方法是否符合事实

我尝试过，但方法似乎不匹配，我不明白为什么会出现这种情况。

我生成了完全可运行的可重现代码：

import numpy as np
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures

## some parameters
degree_target = 25
N_train = degree_target+1
lb,ub = -2000,2000
x = np.linspace(lb,ub,N_train)
## generate target polynomial model
freq_cos = 5
y_cos = np.cos(2*np.pi*freq_cos*x)
c_polyfit = np.polyfit(x,y_cos,degree_target)[::-1] ## needs to me reverse to get highest power last
## generate kernel matrix
poly_feat = PolynomialFeatures(degree=degree_target)
K = poly_feat.fit_transform(x.reshape(N_train,1)) # generates degree 0 first
## get target samples of the function
y = np.dot(K,c_polyfit)
## get pinv approximation of c_polyfit
c_pinv = np.dot( np.linalg.pinv(K), y)
## get Gaussian-Elminiation approximation of c_polyfit
c_GE = np.linalg.solve(K,y)
## get inverse matrix approximation of c_polyfit
i = np.linalg.inv(K)
c_mdl_i = np.dot(i,y)
## check rank to see if its truly invertible
print('rank(K) = {}'.format( np.linalg.matrix_rank(K) ))
## comapre parameters
print('--c_polyfit')
print('||c_polyfit-c_GE||^2 = {}'.format( np.linalg.norm(c_polyfit-c_GE) ))
print('||c_polyfit-c_pinv||^2 = {}'.format( np.linalg.norm(c_polyfit-c_pinv) ))
print('||c_polyfit-c_mdl_i||^2 = {}'.format( np.linalg.norm(c_polyfit-c_mdl_i) ))
print('||c_polyfit-c_polyfit||^2 = {}'.format( np.linalg.norm(c_polyfit-c_polyfit) ))
##
print('--c_GE')
print('||c_GE-c_GE||^2 = {}'.format( np.linalg.norm(c_GE-c_GE) ))
print('||c_GE-c_pinv||^2 = {}'.format( np.linalg.norm(c_GE-c_pinv) ))
print('||c_GE-c_mdl_i||^2 = {}'.format( np.linalg.norm(c_GE-c_mdl_i) ))
print('||c_GE-c_polyfit||^2 = {}'.format( np.linalg.norm(c_GE-c_polyfit) ))
##
print('--c_pinv')
print('||c_pinv-c_GE||^2 = {}'.format( np.linalg.norm(c_pinv-c_GE) ))
print('||c_pinv-c_pinv||^2 = {}'.format( np.linalg.norm(c_pinv-c_pinv) ))
print('||c_pinv-c_mdl_i||^2 = {}'.format( np.linalg.norm(c_pinv-c_mdl_i) ))
print('||c_pinv-c_polyfit||^2 = {}'.format( np.linalg.norm(c_pinv-c_polyfit) ))
##
print('--c_mdl_i')
print('||c_mdl_i-c_GE||^2 = {}'.format( np.linalg.norm(c_mdl_i-c_GE) ))
print('||c_mdl_i-c_pinv||^2 = {}'.format( np.linalg.norm(c_mdl_i-c_pinv) ))
print('||c_mdl_i-c_mdl_i||^2 = {}'.format( np.linalg.norm(c_mdl_i-c_mdl_i) ))
print('||c_mdl_i-c_polyfit||^2 = {}'.format( np.linalg.norm(c_mdl_i-c_polyfit) ))

我得到结果：

rank(K) = 4
--c_polyfit
||c_polyfit-c_GE||^2 = 4.44089220304006e-16
||c_polyfit-c_pinv||^2 = 1.000000000000001
||c_polyfit-c_mdl_i||^2 = 1.1316233165135605e-06
||c_polyfit-c_polyfit||^2 = 0.0
--c_GE
||c_GE-c_GE||^2 = 0.0
||c_GE-c_pinv||^2 = 1.0000000000000007
||c_GE-c_mdl_i||^2 = 1.1316233160694804e-06
||c_GE-c_polyfit||^2 = 4.44089220304006e-16
--c_pinv
||c_pinv-c_GE||^2 = 1.0000000000000007
||c_pinv-c_pinv||^2 = 0.0
||c_pinv-c_mdl_i||^2 = 0.9999988683985006
||c_pinv-c_polyfit||^2 = 1.000000000000001
--c_mdl_i
||c_mdl_i-c_GE||^2 = 1.1316233160694804e-06
||c_mdl_i-c_pinv||^2 = 0.9999988683985006
||c_mdl_i-c_mdl_i||^2 = 0.0
||c_mdl_i-c_polyfit||^2 = 1.1316233165135605e-06

为什么？是机器精度问题吗？或者是因为当度数很大（大于1）时误差会累积（很多）？老实说，我不知道，但所有这些假设对我来说似乎都很愚蠢。如果有人发现我的错误，请随时指出。否则，我可能不懂线性代数之类的东西……这更令人担忧。

另外，如果我能得到有关此工作的建议，我将不胜感激。我是否：

1. 将间隔的大小增加到不小于 1（数量级）？
2. 我可以使用的最大多项式大小是多少？
3. 不同的语言...？或者提高精度？

任何建议表示赞赏！

问题是浮点精度。您将 0 到 1 之间的数字求 30 次方，然后将它们相加。如果您使用无限精度算术来执行此操作，这些方法将恢复输入。对于浮点运算，精度损失意味着你不能。