从贝塞尔曲线沿线的点导出贝塞尔曲线控制点的算法？

我一直在寻找，但显然没有找到一种算法，该算法允许我插入已知沿曲线的 x,y 坐标列表，以便获得三次贝塞尔曲线吐口的 4 个控制点出去。

更准确地说，我正在寻找一种算法，它可以为我提供塑造曲线所需的两个控制点，同时输入一系列离散点，包括确定曲线起点和终点的两个控制点。

Thanks!

编辑：好的，由于数学，一个老对手，我需要询问最适合多项式函数的贝塞尔曲线。

所以我假设端点是固定的，然后你有许多 (x,y) 样本点，你想用三次贝塞尔曲线来拟合它们。

您拥有的样本点的数量将决定采取什么方法。我们来看几个案例：

2 points

2个样本点是最简单的情况。如果算上终点的话，总共可以得到 4 分。这是三次贝塞尔曲线中 CV 的数量。为了解决这个问题，您需要两个样本点的参数 (t) 值。然后，您有一个由 2 个方程和 2 个点组成的系统，您需要求解，其中方程是贝塞尔曲线在您选择的 t 值处的参数方程。

t 值可以是您喜欢的任何值，但通过使用 1/3 和 2/3，或者查看相对距离或沿基线的相对距离，您将获得更好的结果，具体取决于您的数据。

1 point

这与 2 点类似，只不过您没有足够的信息来唯一确定您的所有自由度。我建议是拟合二次贝塞尔曲线，然后进行度数提升。我写了一个二次拟合的详细例子这个问题 https://stackoverflow.com/questions/18476308/non-parametric-quadratic-bezier-curve-through-3-points-in-2d-in-r/18485522#18485522.

超过2分

在这种情况下，没有唯一的解决方案。我使用最小二乘近似得到了很好的结果。步骤是：

• 为每个样本选取 t 值
• 将方程组构建为矩阵
• 可选择添加整流罩或其他平滑功能
• 使用最小二乘求解器求解矩阵

这里有对这些步骤的很好的描述免费 cadd 教科书 http://tom.cs.byu.edu/~557/text/cagd.pdf，第 11 章。它讨论了拟合 B 样条曲线，但三次贝塞尔曲线是 B 样条曲线的一种（节点向量为 0,0,0,1,1,1，有 4 个点）。