【算法学习】n个骰子的点数（Java）

一、题目描述

把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。

你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。

示例 1:
输入: 1
输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]
示例 2:

输入: 2
输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]

二、思路分析

1. 题目要求：求解每种情况的概率，概率 = 每种情况出现次数/总次数，总次数很简单即可重复排列 6ⁿ，问题需要先计算结果有多少种，以及每种出现的次数。
2. 每个骰子可能有六种结果，即 1-6，那么一个筛子会出现如下结果：
   
3. 在步骤2基础上加一个筛子，会出现以下情况：
   将步骤2与步骤3结果放在一块对齐如下：
   

发现规律如下：（博主也是辗转反侧得出正确结果，并非一次猜测就正确）

• 骰子和会落在，n - 6 * n 这个区间（区间长度 len = 6*n-n+1 = 5n + 1，加 1 的原因是含起始数字）
• 骰子数为 N，骰子和 F(n, t) 为，n - 1 个筛子，F(n-1, t - 1) + F(n-1, t - 2) + F(n-1, t-3) + F(n-1, t-4) + F(n-1, t-5) + F(n-1, t-6)，注意这里有边界条件，如 F(2, 3) = F(1, 2) + F(1, 1)，F(2, 7) = F(1, 1) + F(1, 2) + F(1, 3) + F(1, 4) + F(1, 5) + F(1, 6)。

核心公式

f ( n , t ) = f ( n − 1 , t − 1 ) + f ( n − 1 , t − 2 ) + f ( n − 1 , t − 3 ) + f ( n − 1 , t − 4 ) + f ( n − 1 , t − 5 ) + f ( n − 1 , t − 6 ) f(n, t) = f(n-1, t - 1) + f(n-1, t - 2) + f(n-1, t-3) + f(n-1, t-4) + f(n-1, t-5) + f(n-1, t-6) f(n,t)=f(n−1,t−1)+f(n−1,t−2)+f(n−1,t−3)+f(n−1,t−4)+f(n−1,t−5)+f(n−1,t−6)
注意：此处有坑，注意边界条件，后面公式最多六个。

公式推导依据

上面展示 步骤2与步骤3结果图，可以观察到，每增加一个筛子，给现有情况都增加了六个可能性，并且这个可能性在 +1 到 +6 范围内，因此会有上文公式。
举个例子：n = 2，sum = 4 时，sum = 4 的组合可能来自于，n = 1 时的，（1 + 3，2 + 2，3+1），因此，sum = 4 的组合情况有 1 + 1 + 1 = 3 种可能。

计算出每种情况出现的次数后，概率就很简单了。

三、参考代码

class Solution {
    public double[] dicesProbability(int n) {
        int[] a = {1, 1, 1, 1, 1, 1};//最初形式
        int num = (int)Math.pow(6, n);// 共有这些可能
        int len = 5 * n + 1;
        int[][] r = new int[n][len];//二维数组，对应 i,j 指的是 i个筛子，和为 j 的个数
        double[] r2 = new double[len];
        for(int j = 0; j < 6; j++)
            r[0][j] = a[j];

        for(int i = 1; i < n; i++){// 从 n 等于 1 开始逐个推导至 n
            int t = 5 * i + 6;// (i+1) * 6 - (i+1-1)
            for(int j = 0; j < t; j++){
                int t2 = 0;
                for(int k = (j - 5) > 0 ? j - 5 : 0; k <= j; k++)
                    t2 += r[i - 1][k];//含当前数，往前五个
                r[i][j] = t2; 
            }
        }

        for(int j = 0; j < len; j++){//根据推导结果计算比例
            r2[j] = 1.0 * r[n-1][j] / num;
        }
        return r2;
    }
}

四、测试连接

力扣