是否总是可以使用树旋转将一个 BST 转换为另一个 BST？

给定一组值，可能有许多不同的可能的二叉搜索树可以由这些值形成。例如，对于值 1、2 和 3，我们可以根据这些值得出五个 BST：

1      1      2      3      3
 \      \    / \    /      /
  2      3  1   3  1      2
   \    /           \    /
    3  2             2  1

许多基于平衡二叉搜索树的数据结构都使用树轮换 http://en.wikipedia.org/wiki/Tree_rotation作为重塑 BST 的原语，而不破坏所需的二叉搜索树不变量。树旋转可用于将节点拉到其父节点上方，如下所示：

                rotate
         u      right           v
        / \     ----->         / \
       v   C                  A   u
      / \       <-----           / \
     A   B      rotate          B   C
                 left

给定一个包含一组值的 BST，是否总是可以将该 BST 转换为同一组值的任意其他 BST？例如，我们是否可以仅通过使用树旋转将上述五个 BST 中的任何一个转换为任何其他 BST？

您问题的答案取决于 BST 中是否允许具有相同的值，但这些值可能彼此不同。例如，如果您的 BST 存储键/值对，则并不总是可以将这些键/值对的一个 BST 转换为相同键/值对的不同 BST。

原因是无论执行多少次树旋转，BST 中节点的中序遍历都保持不变。因此，如果节点的中序遍历结果不同，则不可能从一种 BST 转换为另一种 BST。作为一个非常简单的情况，假设您有一个 BST，其中包含数字 1 的两个副本，每个副本都用不同的值（例如 A 或 B）进行注释。在这种情况下，无法使用树旋转将这两棵树相互转换：

       1:a            1:b
         \             \
         1:b           1:a

您可以通过暴力强制您可以通过旋转创建的（非常小！）可能的树集来检查这一点。然而，只要注意到第一棵树的中序遍历给出 1:a, 1:b，第二棵树的中序遍历给出 1:b, 1:a。因此，任何旋转次数都不足以在树之间进行转换。

另一方面，如果所有值都不同，则始终可以通过应用正确的树旋转次数在两个 BST 之间进行转换。我将使用节点数量的归纳论证来证明这一点。

作为一种简单的基本情况，如果树中没有节点，则只有一个可能的 BST 保存这些节点：空树。因此，总是可以在两棵包含零个节点的树之间进行转换，因为起始树和结束树必须始终相同。

对于归纳步​​骤，我们假设对于具有相同值的 0, 1, 2, .., n 节点的任何两个 BST，总是可以使用旋转从一个 BST 转换为另一个。我们将证明，给定由相同的 n + 1 个值组成的任意两个 BST，总是可以将第一棵树转换为第二棵树。

为此，我们首先要进行一个关键的观察。给定 BST 中的任何节点，始终可以应用树旋转来将该节点拉到树的根。为此，我们可以应用以下算法：

while (target node is not the root) {
    if (node is a left child) {
        apply a right rotation to the node and its parent;
    } else {
        apply a left rotation to the node and its parent;
    }
}

这样做的原因是，每当一个节点与其父节点一起旋转时，它的高度就会增加一。因此，在对上述形式进行足够多次旋转后，我们可以将根到达树的顶部。

现在，这为我们提供了一种非常简单的递归算法，我们可以使用旋转将任何一个 BST 重塑为另一个 BST。想法如下。首先，查看第二棵树的根节点。在第一棵树中找到该节点（这非常简单，因为它是 BST！），然后使用上面的算法将其拉到树的根部。至此，我们已经将第一棵树变成了具有以下属性的树：

1. 第一棵树的根节点是第二棵树的根节点。
2. 第一棵树的右子树包含与第二棵树的右子树相同的节点，但可能具有不同的形状。
3. 第一棵树的左子树包含与第二棵树的左子树相同的节点，但可能具有不同的形状。

因此，我们可以递归地应用相同的算法，使左子树与第二棵树的左子树具有相同的形状，并使右子树与第二棵树的右子树具有相同的形状。由于这些左子树和右子树的每个节点必须严格不超过 n 个，根据我们的归纳假设，我们知道总是可以做到这一点，因此算法将按预期工作。

总而言之，该算法的工作原理如下：

1. 如果两棵树都是空的，我们就完成了。
2. 在第一棵树中找到第二棵树的根节点。
3. 应用旋转将该节点带到根节点。
4. 递归地重塑第一棵树的左子树，使其具有与第二棵树的左子树相同的形状。
5. 递归地重塑第一棵树的右子树，使其具有与第二棵树的右子树相同的形状。

To analyze the runtime of this algorithm, note that applying steps 1 - 3 requires at most O(h) steps, where h is the height of the first tree. Every node will be brought up to the root of some subtree exactly once, so we do this a total of O(n) times. Since the height of an n-node tree is never greater than O(n), this means that the algorithm takes at most O(n²) time to complete. It's possible that it will do a lot better (for example, if the two trees already have the same shape, then this runs in time O(n)), but this gives a nice worst-case bound.

希望这可以帮助！