下面深入浅出讲一下Butterworth原理及其代码编写。
1. 首先考虑一个归一化的低通滤波器（截止频率是1），其幅度公式如下：
当n->∞时，得到一个理想的低通滤波反馈: ω＜1时，增益为1；ω＞1时，增益为1；ω=1时，增益为0.707。如下图所示：
将s=jω带入上式得：
根据以下三个公式
a. 
，这里取σ=0
b. 
c. 拉普拉斯变换在虚轴s=jω上的性质：
可以得到：
因此极点（分母为0的解）为：
根据
和
得到：
因此可以求得极点在单位圆上：
如果k从0开始的话，上式括号里可以写作2k+n+1：
由于我们只对H(s)感兴趣，而不考虑H(-s)。因此低通滤波器的极点全部在负实半平面单位圆上：
该滤波器的传递函数为
下面是n=1到4阶的极点位置：
例如四阶Butterworth低通滤波器的极点所在角度为：
5π/8, 7π/8, 9π/8, 11π/8
极点位置在：
因此传递函数为：
1到10阶的Butterworth多项式因子表格如下：
以上我们考虑的是幅度-3分贝时的截止频率为1时的情况：
其它截止频率可将传递函数中的s替换为：
例如二阶截止频率为100的传递函数为：
