两个简单递归函数的 Big-O 表示法

我在 Python 中有两个递归函数，只是想知道它们的大 O 表示法。这些的大 O 是什么？

def cost(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return cost(n-1) + cost(n-1)

def cost(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return 2*cost(n-1)

让我们使用递归关系来解决这个问题！第一个函数的运行时可以递归地描述为

T(0) = 1

T(n + 1) = 2T(n) + 1

也就是说，基本情况需要一个时间单位才能完成，否则我们会对问题的较小实例进行两次递归调用，并进行一些设置和清理工作。展开这个递归中的一些项，我们得到

• T(0) = 1
• T(1) = 2T(0) + 1 = 2 + 1 = 3
• T(2) = 2T(1) + 1 = 2 × 3 + 1 = 7
• T(3) = 2T(2) + 1 = 2 × 7 + 1 = 15

This series 1, 3, 7, 15, ... might look familiar, since it's 2¹ - 1, 2² - 1, 2³ - 1, etc. More generally, we can prove that

T(n) = 2ⁿ⁺¹ - 1

We can do this by induction. As our base case, T(0) = 1 = 2¹ - 1, so the claim holds for n = 0. Now assume that for some n that T(n) = 2ⁿ⁺¹ - 1. Then we have that

T(n + 1) = 2T(n) + 1 = 2(2ⁿ⁺¹ - 1) + 1 = 2ⁿ⁺² - 2 + 1 = 2ⁿ⁺² - 1

And we're done! Since this recurrence works out to 2ⁿ⁺¹ - 1 = 2(2ⁿ) - 1, we have that the runtime is Θ(2ⁿ).

第二个函数的运行时可以递归地描述为

T(0) = 1

T(n + 1) = T(n) + 1

展开一些术语：

• T(0) = 1
• T(1) = T(0) + 1 = 1 + 1 = 2
• T(2) = T(1) + 1 = 2 + 1 = 3
• T(3) = T(2) + 1 = 3 + 1 = 4

这给出了 1, 2, 3, 4, ...，所以更一般地说，我们可能会猜测

T(n) = n + 1

我们可以再次归纳证明这一点。作为基本情况，如果 n = 0，则 T(0) = 1 = 0 + 1。对于归纳步​​骤，假设对于某些 n，T(n) = n + 1。然后

T(n + 1) = T(n) + 1 = n + 1 + 1 = n + 2

我们就完成了！由于运行时间为 n + 1，因此运行时间为 θ(n)。

希望这可以帮助！